Considere a função
f(x, y)= x^3-y^2x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
Determine:
partial fpartial y

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfracx^3-y^2x^2+y^2, & se (x,y)neq(0,0),[6pt] 0, & se (x,y)=(0,0),
e pede a derivada parcial partial f/partial y. Para (x,y)neq(0,0) usaremos a regra do quociente e, em (0,0), a definição de derivada parcial pelo limite.]

Passo 2

Defina
u(x,y)=x^3-y^2, v(x,y)=x^2+y^2
Então
partial u/partial y=-2y
e
partial v/partial y=2y.
Pela regra do quociente, para (x,y)neq(0,0),
partial fpartial y = v,partial upartial y ;-; u,partial vpartial yv^2

Passo 3

Substituindo os valores de partial u/partial y e partial v/partial y,
partial fpartial y = (x^2+y^2)(-2y);-;(x^3-y^2)(2y)(x^2+y^2)^2 = -2yx^2-2y^3-2yx^3+2y^3(x^2+y^2)^2 = -2y,x^2(1+x)(x^2+y^2)^2

Passo 4

Em (0,0) usamos a definição
partial fpartial y(0,0) = limhto 0f(0,h)-f(0,0)h
Para hneq0,
f(0,h)=0^3-h^20^2+h^2=-1,
então
f(0,h)-f(0,0)h = -1-0h = -1h,
que não tem limite finito quando hto0. Logo a derivada parcial em (0,0) não existe.

Resposta

partial fpartial y(x,y) = dfrac-2,y,x^2(1+x)(x^2+y^2)^2, & se (x,y)neq(0,0),[8pt] não existe, & se (x,y)=(0,0) ã]

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