Use diferenciação implícita para determinar \frac{\partial z}{\partial x} \mathrm{e} \frac{\partial z}{\partial y} nas equações abaixo, assumindo que z= z(x, y) :
x^{2}+y z+e^{z}=4

Passo 1

O enunciado dá a relação entre x, y e z e pede as derivadas parciais de z em função de x e de y, assumindo que z=z(x,y). A equação fornecida é:
x^{2}+y z+e^{z}=4.
As perguntas que preciso responder são:
  • Determinar \dfrac{\partial z}{\partial x}.
  • Determinar \dfrac{\partial z}{\partial y}.
Informações relevantes dadas:
  • A relação implícita entre x,y,z é \;x^{2}+y z+e^{z}=4.
  • Deve-se tratar z como uma função de x e y: z=z(x,y).
  • Não há valores numéricos específicos; a resposta será em termos de x,y,z.

Passo 2

Ideia geral (sem calcular ainda): quando z está definido implicitamente por uma equação F(x,y,z)=0, a forma prática de obter \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y} é diferenciar a equação mantendo a variável adequada constante e aplicando a regra da cadeia (chain rule). Vou explicar a regra da cadeia num contexto simples:
  • Se z=z(x,y) e temos uma função composta g(z(x,y)), então ao derivar g(z) em relação a x (com y constante) obtemos g'(z)\,\dfrac{\partial z}{\partial x}.
  • Ao derivar um produto como y\,z(x,y) em relação a x (com y constante), tratamos y como constante e obtemos y\,\dfrac{\partial z}{\partial x}.
    Usarei isso para diferenciar cada termo da equação original.

Passo 3

Diferenciação em relação a x (mantendo y constante).
Começo diferenciando termo a termo a equação
x^{2}+y z+e^{z}=4.
  • Derivada de x^{2} em relação a x é 2x.
  • Derivada de y z em relação a x: y é constante, então dá y\,\dfrac{\partial z}{\partial x}.
  • Derivada de e^{z} em relação a x: por regra da cadeia dá e^{z}\,\dfrac{\partial z}{\partial x}.
  • Derivada de 4 é 0.
Somando:
2x + y\,\dfrac{\partial z}{\partial x} + e^{z}\,\dfrac{\partial z}{\partial x} = 0.

Passo 4

Isolando \dfrac{\partial z}{\partial x} na equação obtida no passo anterior:
Coloco os termos que têm \dfrac{\partial z}{\partial x} em evidência:
2x + \bigl(y + e^{z}\bigr)\dfrac{\partial z}{\partial x} = 0.
Passo o 2x para o outro lado e divido por \bigl(y+e^{z}\bigr):
\bigl(y + e^{z}\bigr)\dfrac{\partial z}{\partial x} = -2x,
logo
\dfrac{\partial z}{\partial x} = -\dfrac{2x}{\,y + e^{z}\,}.
Observação importante sobre validade: para que essa expressão faça sentido precisamos de y+e^{z}\neq 0 (não dividir por zero). Note que e^{z}>0 para todo z, então é impossível e^{z}=0; no entanto, y+e^{z} pode ser zero se y for negativo e igual a -e^{z}. Quando y+e^{z}=0 a hipótese de representação local z=z(x,y) via o teorema da função implícita falaria que não se pode isolar z dessa forma nesse ponto.

Passo 5

Diferenciação em relação a y (mantendo x constante).
Parto da mesma equação
x^{2}+y z+e^{z}=4.
Agora x é constante, então:
  • Derivada de x^{2} em relação a y é 0.
  • Derivada de y z em relação a y: aqui usamos a regra do produto porque y varia e z também depende de y. Logo a derivada é 1\cdot z + y\cdot\dfrac{\partial z}{\partial y}, isto é, z + y\,\dfrac{\partial z}{\partial y}.
  • Derivada de e^{z} em relação a y é e^{z}\,\dfrac{\partial z}{\partial y}.
  • Derivada do lado direito 4 é 0.
Somando:
0 + \bigl(z + y\,\dfrac{\partial z}{\partial y}\bigr) + e^{z}\,\dfrac{\partial z}{\partial y} = 0,
ou simplesmente
z + \bigl(y + e^{z}\bigr)\dfrac{\partial z}{\partial y} = 0.

Passo 6

Isolando \dfrac{\partial z}{\partial y} na equação do passo anterior:
Passo z para o outro lado:
\bigl(y + e^{z}\bigr)\dfrac{\partial z}{\partial y} = -z,
e divido por \bigl(y+e^{z}\bigr) (novamente requerendo y+e^{z}\neq 0):
\dfrac{\partial z}{\partial y} = -\dfrac{z}{\,y + e^{z}\,}.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para fixar a ideia (apenas para ilustrar): escolha x=0 e y=0. A equação fica
0^{2}+0\cdot z + e^{z}=4 \quad\Rightarrow\quad e^{z}=4 \quad\Rightarrow\quad z=\ln(4).
Substituindo nas fórmulas:
\dfrac{\partial z}{\partial x}\Big|_{(0,0)} = -\dfrac{2\cdot 0}{0+e^{\ln 4}} = 0,
\dfrac{\partial z}{\partial y}\Big|_{(0,0)} = -\dfrac{\ln 4}{0+e^{\ln 4}} = -\dfrac{\ln 4}{4}.
Isso confirma que as expressões obtidas funcionam e mostram como avaliar em pontos concretos quando z satisfaça a equação.

Resposta

\dfrac{\partial z}{\partial x} = -\dfrac{2x}{\,y + e^{z}\,}
\dfrac{\partial z}{\partial y} = -\dfrac{z}{\,y + e^{z}\,}

Exercícios relacionados