Use diferenciação implícita para determinar \frac{\partial z}{\partial x} \mathrm{e} \frac{\partial z}{\partial y} nas equações abaixo, assumindo que z= z(x, y) :
x^{2}+y z+e^{z}=4
Passo 1
O enunciado dá a relação entre x, y e z e pede as derivadas parciais de z em função de x e de y, assumindo que z=z(x,y). A equação fornecida é:
x^{2}+y z+e^{z}=4.
As perguntas que preciso responder são:
Determinar \dfrac{\partial z}{\partial x}.
Determinar \dfrac{\partial z}{\partial y}.
Informações relevantes dadas:
A relação implícita entre x,y,z é \;x^{2}+y z+e^{z}=4.
Deve-se tratar z como uma função de x e y: z=z(x,y).
Não há valores numéricos específicos; a resposta será em termos de x,y,z.
Passo 2
Ideia geral (sem calcular ainda): quando z está definido implicitamente por uma equação F(x,y,z)=0, a forma prática de obter \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y} é diferenciar a equação mantendo a variável adequada constante e aplicando a regra da cadeia (chain rule). Vou explicar a regra da cadeia num contexto simples:
Se z=z(x,y) e temos uma função composta g(z(x,y)), então ao derivar g(z) em relação a x (com y constante) obtemos g'(z)\,\dfrac{\partial z}{\partial x}.
Ao derivar um produto como y\,z(x,y) em relação a x (com y constante), tratamos y como constante e obtemos y\,\dfrac{\partial z}{\partial x}.
Usarei isso para diferenciar cada termo da equação original.
Passo 3
Diferenciação em relação a x (mantendo y constante).
Começo diferenciando termo a termo a equação
x^{2}+y z+e^{z}=4.
Derivada de x^{2} em relação a x é 2x.
Derivada de y z em relação a x: y é constante, então dá y\,\dfrac{\partial z}{\partial x}.
Derivada de e^{z} em relação a x: por regra da cadeia dá e^{z}\,\dfrac{\partial z}{\partial x}.
Observação importante sobre validade: para que essa expressão faça sentido precisamos de y+e^{z}\neq 0 (não dividir por zero). Note que e^{z}>0 para todo z, então é impossível e^{z}=0; no entanto, y+e^{z} pode ser zero se y for negativo e igual a -e^{z}. Quando y+e^{z}=0 a hipótese de representação local z=z(x,y) via o teorema da função implícita falaria que não se pode isolar z dessa forma nesse ponto.
Passo 5
Diferenciação em relação a y (mantendo x constante).
Parto da mesma equação
x^{2}+y z+e^{z}=4.
Agora x é constante, então:
Derivada de x^{2} em relação a y é 0.
Derivada de y z em relação a y: aqui usamos a regra do produto porque y varia e z também depende de y. Logo a derivada é 1\cdot z + y\cdot\dfrac{\partial z}{\partial y}, isto é, z + y\,\dfrac{\partial z}{\partial y}.
Derivada de e^{z} em relação a y é e^{z}\,\dfrac{\partial z}{\partial y}.