Calcule
usando a regra da cadeia:
e
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Dados:
, e . - Pergunta: Calcular
.
Passo 2
Ideia básica (sem resolver ainda):
é uma função de
e
, que por sua vez dependem de
. Logo
aparece por composição de funções. Uma forma direta é ver
como
e aplicar a regra da cadeia para a função seno composta com
:
Antes de usar isso, vamos explicar e calcular cuidadosamente cada parte.
Passo 3
Explicando a regra usada (mini-aula): se
com
, então a derivada é
Aqui
. Para
usamos a regra do produto: se
, então
A regra do produto diz: derivada do primeiro vezes o segundo + primeiro vezes derivada do segundo. Isso é tudo que precisamos.
Passo 4
Calcular as derivadas simples de
e
em função de
:
Aqui apliquei as regras básicas: derivada de
é
, e derivada de
é
.
Passo 5
Calcular
usando a regra do produto e os resultados do passo anterior:
Agora substituímos
e
:
Passo 6
Voltar à fórmula do passo 2 e substituir
e
:
Pronto — esse é o resultado final. Como checagem rápida: em
temos
, o que faz sentido porque aí
e a inclinação é zero.
Passo 7
(Método alternativo — reforço didático) Outra maneira que reforça o entendimento é usar derivadas parciais: para
,
A regra da cadeia para funções de várias variáveis diz
Substituindo as parciais e
,
obtemos
Colocando
e
chega-se de novo a
, mesma resposta — bom sinal!