Calcule \frac{d z}{d t} usando a regra da cadeia:
z=\operatorname{sen}(x y), \quad x=3 t \quad e \quad y=t^{2}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados: z=\operatorname{sen}(x y), x=3t e y=t^{2}.
  • Pergunta: Calcular \dfrac{dz}{dt}.

Passo 2

Ideia básica (sem resolver ainda): z é uma função de x e y, que por sua vez dependem de t. Logo \dfrac{dz}{dt} aparece por composição de funções. Uma forma direta é ver z como z(t)=\operatorname{sen}\big(x(t)\,y(t)\big) e aplicar a regra da cadeia para a função seno composta com u(t)=x(t)y(t):
\frac{dz}{dt}=\cos\big(xy\big)\cdot\frac{d}{dt}\big(xy\big).
Antes de usar isso, vamos explicar e calcular cuidadosamente cada parte.

Passo 3

Explicando a regra usada (mini-aula): se z=\operatorname{sen}(u) com u=u(t), então a derivada é
\frac{dz}{dt}=\cos(u)\cdot\frac{du}{dt}.
Aqui u(t)=x(t)\,y(t). Para \dfrac{d}{dt}\big(xy\big) usamos a regra do produto: se u(t)=x(t)\,y(t), então
\frac{d}{dt}\big(xy\big)=x(t)\,\frac{dy}{dt}+y(t)\,\frac{dx}{dt}.
A regra do produto diz: derivada do primeiro vezes o segundo + primeiro vezes derivada do segundo. Isso é tudo que precisamos.

Passo 4

Calcular as derivadas simples de x e y em função de t:
\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}(3t)=3, \qquad \frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}\big(t^{2}\big)=2t.
Aqui apliquei as regras básicas: derivada de a t é a, e derivada de t^{2} é 2t.

Passo 5

Calcular \dfrac{d}{dt}\big(xy\big) usando a regra do produto e os resultados do passo anterior:
\frac{d}{dt}\big(xy\big)=x\cdot\frac{dy}{dt}+y\cdot\frac{dx}{dt} =x\cdot(2t)+y\cdot 3.
Agora substituímos x=3t e y=t^{2}:
x\cdot(2t)+y\cdot 3=(3t)\cdot(2t)+(t^{2})\cdot 3=6t^{2}+3t^{2}=9t^{2}.

Passo 6

Voltar à fórmula do passo 2 e substituir \dfrac{d}{dt}\big(xy\big)=9t^{2} e xy=3t\cdot t^{2}=3t^{3}:
\frac{dz}{dt}=\cos\big(xy\big)\cdot 9t^{2}=9t^{2}\cos\big(3t^{3}\big).
Pronto — esse é o resultado final. Como checagem rápida: em t=0 temos dz/dt=0, o que faz sentido porque aí z=\operatorname{sen}(0)=0 e a inclinação é zero.

Passo 7

(Método alternativo — reforço didático) Outra maneira que reforça o entendimento é usar derivadas parciais: para z=\operatorname{sen}(xy),
\frac{\partial z}{\partial x}=\cos(xy)\cdot y, \qquad \frac{\partial z}{\partial y}=\cos(xy)\cdot x.
A regra da cadeia para funções de várias variáveis diz
\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}.
Substituindo as parciais e \dfrac{dx}{dt}=3, \dfrac{dy}{dt}=2t obtemos
\frac{dz}{dt}=\cos(xy)\,y\cdot 3+\cos(xy)\,x\cdot 2t=\cos(xy)\big(3y+2tx\big).
Colocando x=3t e y=t^{2} chega-se de novo a 9t^{2}\cos(3t^{3}), mesma resposta — bom sinal!

Resposta

9t^{2}\cos(3t^{3})

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