Seja f(x, y)=x e^y, determine a maior taxa de variação de f no ponto P=(2.0) e apresente em qual direção ela ocorre.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma função de duas variáveis, $ f(x, y) = x e^{y} $, e queremos descobrir qual é a maior taxa de variação dessa função no ponto $ P = (2, 0) $ e também em que direção essa maior variação acontece. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre gradiente e como ele nos ajuda a encontrar essas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a taxa de variação de uma função em um ponto. Em funções de várias variáveis, a maior taxa de variação de uma função num ponto específico é dada pela magnitude do gradiente da função nesse ponto. O gradiente é um vetor que aponta na direção da maior taxa de variação e sua magnitude indica o quão rápido essa variação acontece.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente da função $ f(x, y) = x e^{y} $. O gradiente é composto pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável.
f(x, y) = x e^y
Vamos calcular essas derivadas:
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y )
partial fpartial x = e^y

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto $ P = (2, 0) $:
P = (2, 0)
partial fpartial x|(2,0) = e^0 = 1
Então, o gradiente no ponto $ P $ é:
partial fpartial y|(2,0) = 2 e^0 = 2

Passo 5

A maior taxa de variação da função no ponto $ P $ é a magnitude desse gradiente. Vamos calcular a magnitude do vetor $ (1, 2) $:
P

Passo 6

A direção em que essa maior taxa de variação ocorre é a direção do próprio gradiente. Para expressar isso como um vetor unitário (de direção), dividimos o gradiente pela sua magnitude:
Direção = ( 1raiz5, 2raiz5 ) çã

Resposta

A maior taxa de variação de $ f $ no ponto $ P = (2, 0) $ é $ \sqrt{5} $ e ocorre na direção do vetor $ \left( \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}} \right) $.

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