Seja C a curva parametrizada C(t)=(cos ^2 t, cos t sin t) ; t in[0, pi2] 0 comprimento de C é:
Escolha uma opção:
pi2
2 pi3
pi
pi^2
3 pi2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva parametrizada $ C(t) = (\cos^2 t, \cos t \sin t) $ onde $ t $ varia de $ 0 $ até $ \frac{\pi}{2} $. O objetivo aqui é descobrir o comprimento dessa curva. Para isso, vamos usar o conceito de cálculo de comprimento de curvas, que envolve derivadas e integrais. Vamos precisar calcular as derivadas das componentes da curva e depois usar a fórmula do comprimento de arco.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de uma curva parametrizada. Se $ C(t) = (x(t), y(t)) $, então o comprimento $ L $ de $ C $ de $ t = a $ até $ t = b $ é dado por:
C(t) = (x(t), y(t))
Aqui, $ \frac{dx}{dt} $ e $ \frac{dy}{dt} $ são as derivadas das componentes $ x(t) $ e $ y(t) $ em relação a $ t $.

Passo 3

Vamos identificar $ x(t) $ e $ y(t) $ na nossa curva:
x(t)
y(t)
Agora, vamos calcular as derivadas de $ x(t) $ e $ y(t) $ em relação a $ t $:
x(t) = cos^2 t
y(t) = cos t sin t

Passo 4

Agora, vamos colocar essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
L = integral0^pi2 raiz(-2 cos t sin t)^2 + (-sin^2 t + cos^2 t)^2 , dt
Vamos simplificar o que está dentro da raiz:
(-2 cos t sin t)^2 = 4 cos^2 t sin^2 t
(-sin^2 t + cos^2 t)^2 = (cos^2 t - sin^2 t)^2 = cos^4 t - 2 cos^2 t sin^2 t + sin^4 t
Somando essas duas expressões:
4 cos^2 t sin^2 t + cos^4 t - 2 cos^2 t sin^2 t + sin^4 t = cos^4 t + 2 cos^2 t sin^2 t + sin^4 t

Passo 5

Perceba que $ \cos^4 t + 2 \cos^2 t \sin^2 t + \sin^4 t $ é igual a $ (\cos^2 t + \sin^2 t)^2 $. Sabemos que $ \cos^2 t + \sin^2 t = 1 $, então:
cos^4 t + 2 cos^2 t sin^2 t + sin^4 t
Então, a expressão dentro da raiz simplifica para 1:
(cos^2 t + sin^2 t)^2

Passo 6

Agora, a integral fica bem simples:
L = integral0^pi2 1 , dt = [ t ]0^pi2 = pi2 - 0 = pi2

Resposta

O comprimento da curva $ C $ é $ \frac{\pi}{2} $.

Exercícios relacionados