Seja
a curva parametrizada
comprimento de
é:
Escolha uma opção:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva parametrizada $ C(t) = (\cos^2 t, \cos t \sin t) $ onde $ t $ varia de $ 0 $ até $ \frac{\pi}{2} $. O objetivo aqui é descobrir o comprimento dessa curva. Para isso, vamos usar o conceito de cálculo de comprimento de curvas, que envolve derivadas e integrais. Vamos precisar calcular as derivadas das componentes da curva e depois usar a fórmula do comprimento de arco.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de uma curva parametrizada. Se $ C(t) = (x(t), y(t)) $, então o comprimento $ L $ de $ C $ de $ t = a $ até $ t = b $ é dado por:
Aqui, $ \frac{dx}{dt} $ e $ \frac{dy}{dt} $ são as derivadas das componentes $ x(t) $ e $ y(t) $ em relação a $ t $.
Passo 3
Vamos identificar $ x(t) $ e $ y(t) $ na nossa curva:
Agora, vamos calcular as derivadas de $ x(t) $ e $ y(t) $ em relação a $ t $:
Passo 4
Agora, vamos colocar essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Vamos simplificar o que está dentro da raiz:
Somando essas duas expressões:
Passo 5
Perceba que $ \cos^4 t + 2 \cos^2 t \sin^2 t + \sin^4 t $ é igual a $ (\cos^2 t + \sin^2 t)^2 $. Sabemos que $ \cos^2 t + \sin^2 t = 1 $, então:
Então, a expressão dentro da raiz simplifica para 1:
Passo 6
Agora, a integral fica bem simples:
Resposta
O comprimento da curva $ C $ é $ \frac{\pi}{2} $.