Escreva na forma
a função composta. Identifique a função de dentro
e a de fora
. Então encontre a derivada
usando a regra da cadeia.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa trabalhar com funções compostas e derivadas usando a regra da cadeia, que é um conceito importante do cálculo diferencial. Basicamente, vamos identificar as funções que compõem
, reescrevê-las na forma
, e depois encontrar a derivada dessa função usando a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a função dada na forma de função composta
. Nesse caso, observamos que temos a função cosseno aplicada a outra função, que é a tangente de
. Então, podemos identificar:
- Função de dentro:
- Função de fora:
, onde é uma variável auxiliar representando .
Passo 3
Agora, vamos reescrever
usando essa notação:
Onde
é a função de dentro que passamos para a função de fora
.
Passo 4
Para encontrar a derivada
, vamos usar a regra da cadeia. Essa regra é super útil quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função. A regra da cadeia diz que a derivada de
em relação a
é igual à derivada da função de fora em relação à função de dentro, multiplicada pela derivada da função de dentro em relação a
. Em fórmulas:
Passo 5
Vamos calcular cada parte:
-
Derivada da função de fora em relação a
: -
Derivada da função de dentro em relação a
:
Agora, aplicando a regra da cadeia:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: