Escreva na forma f(g(x)) a função composta. Identifique a função de dentro u=g(x) e a de fora y=f(u). Então encontre a derivada d y / d x usando a regra da cadeia.
y=cos (tan x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa trabalhar com funções compostas e derivadas usando a regra da cadeia, que é um conceito importante do cálculo diferencial. Basicamente, vamos identificar as funções que compõem y = cos(tan x), reescrevê-las na forma f(g(x)), e depois encontrar a derivada dessa função usando a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função dada na forma de função composta f(g(x)). Nesse caso, observamos que temos a função cosseno aplicada a outra função, que é a tangente de x. Então, podemos identificar:
  • Função de dentro: g(x) = tan x
  • Função de fora: f(u) = cos u, onde u é uma variável auxiliar representando g(x).

Passo 3

Agora, vamos reescrever y usando essa notação:
y = f(g(x)) = f(u) = cos u
Onde u = tan x é a função de dentro que passamos para a função de fora f(u).

Passo 4

Para encontrar a derivada dy/dx, vamos usar a regra da cadeia. Essa regra é super útil quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função. A regra da cadeia diz que a derivada de y em relação a x é igual à derivada da função de fora em relação à função de dentro, multiplicada pela derivada da função de dentro em relação a x. Em fórmulas:
dydx = dfdu cdot dudx

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
  1. Derivada da função de fora em relação a u:
    dfdu = ddu (cos u) = -sin u
  2. Derivada da função de dentro em relação a x:
    dudx = ddx (tan x) = sec^2 x
Agora, aplicando a regra da cadeia:
dydx = dfdu cdot dudx = (-sin u) cdot sec^2 x
Lembrando que u = tan x, substituímos de volta:
dydx = -sin (tan x) cdot sec^2 x

Resposta

A derivada de y = cos(tan x) em relação a x é:
dydx = -sin (tan x) cdot sec^2 x

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