Seja F(x, y)=x^3 y^3 i+(3 y-34 x^2 y^4) j e seja gamma(t)=(cos t, sen t), 0 <= t <= pi2. Calcule integralgamma F cdot n d s, onde n é a normal com componente y >= 0. Dica: Escolha um conjunto conveniente e aplique o Teorema da Divergência no Plano. Resp.: 3 pi4.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de F(x,y)=x^3y^3,i+l(3y-tfrac34x^2y^4r),j através da curva gamma(t)=(cos t,sen t), 0<= t<=pi/2, tomando-se a normal com componente y>=0. O conteúdo aqui é fluxo de campo em contorno planar e o Teorema da Divergência no plano.

Passo 2

Escolhemos D como o setor circular de raio 1 no primeiro quadrante (o quarto de disco). A fronteira partial D é a união da curva gamma (o arco) com os segmentos dos eixos coordenados. Pelo Teorema da Divergência no plano:
ointpartial DFcdotn,ds ;=;integral duplaDdivF,dA
Nos segmentos dos eixos, y=0 ou x=0, nota-se que F tem componente perpendicular zero, logo o fluxo ali é nulo. Assim,
integralgammaFcdotn,ds =integral duplaDdivF,dA

Passo 3

Calculamos a divergência:
divF =partialpartial x(x^3y^3) +partialpartial yl(3y-tfrac34x^2y^4r) =3x^2y^3+l(3-3x^2y^3r)=3
Como divF=3 é constante,
integral duplaD3,dA =3cdotArea(D) =3cdotpicdot1^24 =3pi4

Resposta

3pi4

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