Seja
e seja
. Calcule
, onde
é a normal com componente
. Dica: Escolha um conjunto conveniente e aplique o Teorema da Divergência no Plano. Resp.:
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através da curva
,
, tomando-se a normal com componente
. O conteúdo aqui é fluxo de campo em contorno planar e o Teorema da Divergência no plano.
Passo 2
Escolhemos
como o setor circular de raio 1 no primeiro quadrante (o quarto de disco). A fronteira
é a união da curva
(o arco) com os segmentos dos eixos coordenados. Pelo Teorema da Divergência no plano:
Nos segmentos dos eixos,
ou
, nota-se que
tem componente perpendicular zero, logo o fluxo ali é nulo. Assim,
Passo 3
Calculamos a divergência:
Como
é constante,