Seja f(x, y)=-x^4-y^4-3.
Mostre que (0,0) é o único ponto crítico de f.

Passo 1

Estamos com a função f(x,y)=−x⁴−y⁴−3 e queremos achar todos os pontos críticos, isto é, onde o gradiente de f some zero. Para isso vamos usar derivadas parciais.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de f em relação a x e a y. Usando regra de potência, temos:
fx(x,y)=partialpartial x(-x^4-y^4-3)=-4x^3,
fy(x,y)=partialpartial y(-x^4-y^4-3)=-4y^3

Passo 3

Agora impomos as condições de ponto crítico: o gradiente deve ser o vetor zero, ou seja,
fx(x,y)=0e fy(x,y)=0

Passo 4

Substituindo as derivadas achadas, temos o sistema
-4x^3=0, -4y^3=0

Passo 5

Dividindo cada equação por -4 (não muda a solução) e resolvendo, obtemos x³=0 e y³=0, logo
x=0e y=0

Passo 6

Portanto, o único ponto que anula as duas derivadas parciais é (0,0).

Resposta

O único ponto crítico de f é (0,0).

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