Seja
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Mostre que
é o único ponto crítico de
.
Mostre que
Passo 1
Estamos com a função f(x,y)=−x⁴−y⁴−3 e queremos achar todos os pontos críticos, isto é, onde o gradiente de f some zero. Para isso vamos usar derivadas parciais.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de f em relação a x e a y. Usando regra de potência, temos:
Passo 3
Agora impomos as condições de ponto crítico: o gradiente deve ser o vetor zero, ou seja,
Passo 4
Substituindo as derivadas achadas, temos o sistema
Passo 5
Dividindo cada equação por -4 (não muda a solução) e resolvendo, obtemos x³=0 e y³=0, logo
Passo 6
Portanto, o único ponto que anula as duas derivadas parciais é (0,0).
Resposta
O único ponto crítico de f é (0,0).