Seja
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Mostre, usando a definição, que -3 é valor máximo local (e absoluto) de
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Mostre, usando a definição, que -3 é valor máximo local (e absoluto) de
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, a partir da definição de máximo local, que a função f(x,y)=−x⁴−y⁴−3 atinge em (0,0) um valor máximo local e que esse mesmo valor é o máximo absoluto em ℝ². Vamos usar a definição: um ponto a é máximo local se existe δ>0 tal que para todo ponto (x,y) com ||(x,y)−a||<δ vale f(x,y)≤f(a); e, para máximo absoluto, precisamos mostrar f(x,y)≤f(a) para todo (x,y) em ℝ².
Passo 2
Avaliaremos primeiro o valor de f em (0,0). Substituindo x=0 e y=0, temos f(0,0)=−0⁴−0⁴−3.
Passo 3
Observemos que para todo (x,y)∈ℝ² se tem x⁴≥0 e y⁴≥0. Logo,
[ −x4−y4 ≤ 0
]
aí resulta
[ −x4−y4−3 ≤ −3
]
ou seja, para qualquer (x,y) em ℝ² vale f(x,y)≤−3=f(0,0).
[ −x4−y4 ≤ 0
]
aí resulta
[ −x4−y4−3 ≤ −3
]
ou seja, para qualquer (x,y) em ℝ² vale f(x,y)≤−3=f(0,0).
Passo 4
Da desigualdade acima segue diretamente que em qualquer bola de centro (0,0) e raio δ>0 temos f(x,y)≤f(0,0), satisfazendo a definição de máximo local. Como a mesma desigualdade vale em toda ℝ², concluímos que −3 é também o máximo absoluto de f.
Resposta
−3