Seja f(x, y)=-x^4-y^4-3.
Mostre, usando a definição, que -3 é valor máximo local (e absoluto) de f.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, a partir da definição de máximo local, que a função f(x,y)=−x⁴−y⁴−3 atinge em (0,0) um valor máximo local e que esse mesmo valor é o máximo absoluto em ℝ². Vamos usar a definição: um ponto a é máximo local se existe δ>0 tal que para todo ponto (x,y) com ||(x,y)−a||<δ vale f(x,y)≤f(a); e, para máximo absoluto, precisamos mostrar f(x,y)≤f(a) para todo (x,y) em ℝ².

Passo 2

Avaliaremos primeiro o valor de f em (0,0). Substituindo x=0 e y=0, temos f(0,0)=−0⁴−0⁴−3.

Passo 3

Observemos que para todo (x,y)∈ℝ² se tem x⁴≥0 e y⁴≥0. Logo,
[ −x4−y4 ≤ 0
]
aí resulta
[ −x4−y4−3 ≤ −3
]
ou seja, para qualquer (x,y) em ℝ² vale f(x,y)≤−3=f(0,0).

Passo 4

Da desigualdade acima segue diretamente que em qualquer bola de centro (0,0) e raio δ>0 temos f(x,y)≤f(0,0), satisfazendo a definição de máximo local. Como a mesma desigualdade vale em toda ℝ², concluímos que −3 é também o máximo absoluto de f.

Resposta

−3

Exercícios relacionados