Seja f(x, y)=y(x^2-y)-2 x^2.
Calcule o gradiente nabla f(x, y).

Passo 1

Temos a função
f(x,y)=yl(x^2-yr)-2x^2
O conteúdo aqui é gradiente de funções de duas variáveis. Para encontrar nabla f=(partial f/partial x,;partial f/partial y), precisamos calcular as derivadas parciais de f em relação a x e a y.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada parcial em relação a x. É útil reescrever
f(x,y)=x^2y - y^2 -2x^2
Agora, tratando y como constante, aplicamos as regras de soma, produto e potência:
partialpartial x(x^2y)=ycdot2x=2xy, partialpartial x(-y^2)=0, partialpartial x(-2x^2)=-4x
Somando, obtemos
partial fpartial x=2xy-4x=2x(y-2)

Passo 3

Em seguida, calculamos a derivada parcial em relação a y. Agora tratamos x como constante e aplicamos as mesmas regras:
partialpartial y(x^2y)=x^2, partialpartial y(-y^2)=-2y, partialpartial y(-2x^2)=0
Somando, fica
partial fpartial y=x^2-2y

Passo 4

Agora basta juntar as derivadas parciais no vetor gradiente:

Resposta

nabla f(x,y)=l(2x(y-2),;x^2-2yr).

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