Seja a sequência definida por
. Mostre que
é convergente e calcule seu limite.
Sugestão: mostre por indução que
é monótona e limitada.
Sugestão: mostre por indução que
Passo 1
Vamos começar entendendo o problema. Temos uma sequência definida por $ x_{1} = 1 $ e $ x_{n+1} = 1 + \sqrt{x_{n}} $. Nosso objetivo aqui é mostrar que essa sequência é convergente, ou seja, que ela se aproxima de um determinado valor conforme $ n $ aumenta, e também encontrar esse limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências monótonas e limitadas, aplicando indução para demonstrar que a sequência é crescente e está limitada acima.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a sequência é monótona, ou seja, se ela está sempre aumentando ou sempre diminuindo. Vamos supor que a sequência seja crescente, o que significa que cada termo é maior ou igual ao anterior: $ x_{n+1} \geq x_{n} $.
Base da indução: Para $ n = 1 $,
Como $ x_{2} = 2 \geq x_{1} = 1 $, a base da indução é verdadeira.
Passo indutivo: Suponha que $ x_{k} \geq x_{k-1} $ para algum $ k \geq 2 $. Então,
Como $ x_{k} \geq x_{k-1} $ e a função raiz quadrada é crescente, temos:
Portanto,
Assim, por indução, a sequência é crescente.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que a sequência é limitada acima, ou seja, existe um número $ M $ tal que $ x_{n} \leq M $ para todo $ n $.
Vamos supor que o limite $ L $ exista. Se a sequência converge para $ L $, então passando ao limite na relação de recorrência temos:
Vamos resolver essa equação para encontrar $ L $:
Subtraindo 1 dos dois lados:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Expandindo:
Rearranjando:
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática:
Como $ L $ representa um limite de uma sequência de números positivos, descartamos a solução negativa:
Portanto, podemos escolher $ M = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} $. Assim, para todo $ n $,
Passo 4
Como mostramos que a sequência $ {x_{n}} $ é crescente e limitada acima, pelo Teorema da Convergência Monótona, sabemos que essa sequência converge. Além disso, o limite da sequência é o valor que encontramos anteriormente:
Resposta
A sequência $ x_{n} $ é convergente e seu limite é $ \frac{3 + \sqrt{5}}{2} $.