Seja f(x, y)=-x^{2}-6 y^{2}-x+y+2.
(a) Determine o plano tangente ao gráfico de z=f(x, y) no ponto (1 / 2,0,5 / 4).
(b) Quantos pontos do gráfico de z=f(x, y) têm plano tangente horizontal, ou seja, paralelo ao plano z=0 ?
(c) Determine um ponto do gráfico da função z=f(x, y) cujo plano tangente é paralelo ao plano z-x-y=2.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y) = -x^2 \;-\;6y^2 \;-\;x\;+\;y\;+\;2
e pede: (a) o plano tangente a z=f(x,y) no ponto \bigl(\tfrac12,0,\tfrac54\bigr); (b) quantos pontos têm plano tangente horizontal (paralelo a z=0); (c) um ponto cujo plano tangente seja paralelo ao plano z - x - y = 2. Vamos usar derivadas parciais e a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = -2x - 1, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = -12y + 1.

Passo 3

(a) No ponto \bigl(x_0,y_0,z_0\bigr)=\bigl(\tfrac12,0,\tfrac54\bigr) temos
f_x\bigl(\tfrac12,0\bigr) = -2\cdot\tfrac12 - 1 = -2, \quad f_y\bigl(\tfrac12,0\bigr) = -12\cdot0 + 1 = 1.
A fórmula do plano tangente é
z - z_0 = f_x(x_0,y_0)\,(x - x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y - y_0),
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z - \tfrac54 = -2\Bigl(x - \tfrac12\Bigr) + 1\,(y - 0).
Desenvolvendo,
z = -2x +1 + y + \tfrac54 = -2x + y + \tfrac{9}{4}.

Passo 4

(b) Um plano tangente é horizontal (paralelo a z=0) quando sua inclinação em x e em y é zero, isto é
f_x(x,y)=0 \quad\text{e}\quad f_y(x,y)=0.
Resolvendo
-2x-1=0\;\Rightarrow\;x=-\tfrac12, \qquad -12y+1=0\;\Rightarrow\;y=\tfrac{1}{12}.
Há exatamente um ponto crítico \bigl(-\tfrac12,\tfrac1{12}\bigr), de modo que existe apenas um plano tangente horizontal.

Passo 5

(c) O plano z-x-y=2 tem vetor normal \bigl(-1,-1,1\bigr). O vetor normal ao plano tangente em (x,y) é \bigl(-f_x,-f_y,1\bigr). Para que sejam paralelos, deve haver \lambda\neq0 tal que
(-f_x,-f_y,1)=\lambda\,(-1,-1,1).
Comparando a terceira coordenada dá \lambda=1, e então
-f_x= -1\;\Rightarrow\;f_x=1, \quad -f_y= -1\;\Rightarrow\;f_y=1.
Isto é
-2x-1=1\;\Rightarrow\;x=-1, \qquad -12y+1=1\;\Rightarrow\;y=0.
O ponto no gráfico é \bigl(-1,0,f(-1,0)\bigr) e
f(-1,0) = -(-1)^2 -6\cdot0^2 -(-1)+0+2 = -1 +1 +2 = 2.
Assim o ponto é \bigl(-1,0,2\bigr).

Resposta

(a) z = -2x + y + \tfrac{9}{4}.
(b) Existe exatamente um ponto com plano tangente horizontal.
(c) Um ponto cujo plano tangente é paralelo a z - x - y = 2 é \bigl(-1,0,2\bigr).

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