Seja
.
(a) Determine o plano tangente ao gráfico de
no ponto
.
(b) Quantos pontos do gráfico de
têm plano tangente horizontal, ou seja, paralelo ao plano
?
(c) Determine um ponto do gráfico da função
cujo plano tangente é paralelo ao plano
.
(a) Determine o plano tangente ao gráfico de
(b) Quantos pontos do gráfico de
(c) Determine um ponto do gráfico da função
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: (a) o plano tangente a
no ponto
; (b) quantos pontos têm plano tangente horizontal (paralelo a
); (c) um ponto cujo plano tangente seja paralelo ao plano
. Vamos usar derivadas parciais e a fórmula do plano tangente.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais de
:
Passo 3
(a) No ponto
temos
A fórmula do plano tangente é
logo
Desenvolvendo,
Passo 4
(b) Um plano tangente é horizontal (paralelo a
) quando sua inclinação em
e em
é zero, isto é
Resolvendo
Há exatamente um ponto crítico
, de modo que existe apenas um plano tangente horizontal.
Passo 5
(c) O plano
tem vetor normal
. O vetor normal ao plano tangente em
é
. Para que sejam paralelos, deve haver
tal que
Comparando a terceira coordenada dá
, e então
Isto é
O ponto no gráfico é
e
Assim o ponto é
.
Resposta
(a)
(b) Existe exatamente um ponto com plano tangente horizontal.
(c) Um ponto cujo plano tangente é paralelo a é
.
(b) Existe exatamente um ponto com plano tangente horizontal.
(c) Um ponto cujo plano tangente é paralelo a