Márcia está fazendo “morango do amor” para vender. Ela usa basicamente dois ingredientes: morango e leite condensado, então podemos supor que o custo de produção
do morango do amor é uma função de duas variáveis:
, que é o preço do morango, e
, que é o preço do leite condensado, ou seja,
.
Porém, sabemos que os preços do morango e do leite condensado ao longo do ano variam. Sejam
o preço do morango ao longo do ano e
o preço do leite condensado ao longo do ano. Assim, podemos dizer que a função
na verdade depende também da época do ano, ou seja,
.
Considere que o custo de produção de uma caixa de morango do amor é dado pela função
, e que as funções que dão as variações do preço do morango e do leite condensado ao longo do ano podem ser aproximadas por
e
, onde a parte inteira de
é o mês.
(a) Calcule
e
e interprete-os.
(b) Calcule
e indique em qual mês o custo de produção do morango do amor é menor (mínimo de
).
Porém, sabemos que os preços do morango e do leite condensado ao longo do ano variam. Sejam
Considere que o custo de produção de uma caixa de morango do amor é dado pela função
(a) Calcule
(b) Calcule
Passo 1
O enunciado define o custo de produção por caixa como
onde
e
são os preços do morango e do leite condensado, respectivamente, e esses preços variam no tempo segundo
com
.
Para resolver, precisamos usar derivadas parciais para (a) e a regra da cadeia para (b).
Para resolver, precisamos usar derivadas parciais para (a) e a regra da cadeia para (b).
Passo 2
Calculamos diretamente as derivadas parciais de
. Como
é linear em cada variável, temos
Passo 3
A interpretação é que, mantendo o preço do leite condensado constante, um aumento unitário no preço do morango eleva o custo em
unidades monetárias. De forma análoga, mantendo
constante, um aumento unitário no preço do leite condensado eleva o custo em
unidades monetárias.
Passo 4
Para (b) precisamos das derivadas de
e
. Derivando, obtemos
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia para
,
temos
temos
Passo 6
O ponto crítico surge de
, ou seja
Como a derivada muda de negativa para positiva em
, esse ponto é mínimo.
Passo 7
Como a parte inteira de
indica o mês, em
a parte inteira é
, ou seja, o custo de produção é mínimo em maio.
Resposta
(a)
e
. Aqui, aumentar
em 1 eleva
em 5, e aumentar
em 1 eleva
em 3.
(b) . O mínimo ocorre em
, isto é, no mês 5 (maio).
(b)