A temperatura em um ponto (x, y) de uma enorme placa de metal, representada pelo plano x y, é dada por T(x, y) e medida em graus Celsius. A função T(x, y) satisfaz
T_{x}(2,3)=1, T_{y}(2,3)=4
Uma formiga é colocada no ponto (1,2) e começa a se mover. Sua posição (x, y) num tempo t é dada por x=1+(1 / 8) t^{3} e y=2+(1 / 4) t^{2}.
O que está acontecendo com a temperatura no caminho da formiga após 2 segundos? Qual é a taxa de aumento/diminuição?
Passo 1
O enunciado diz que a temperatura numa placa é dada por T(x,y) com
O que queremos é saber como varia a temperatura ao longo da trajetória da formiga, ou seja, calcular \dfrac{d}{dt}T\bigl(x(t),y(t)\bigr) em t=2. Para isso vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro vamos achar a posição da formiga em t=2.
Para x:
O resultado \tfrac{11}{2} é positivo, logo a temperatura ao longo do caminho da formiga está aumentando. A taxa de aumento é 5,5 graus Celsius por segundo.
Resposta
A temperatura aumenta a uma taxa de \tfrac{11}{2} °C/s (isto é, 5,5 °C/s) em t=2.