A temperatura em um ponto (x, y) de uma enorme placa de metal, representada pelo plano x y, é dada por T(x, y) e medida em graus Celsius. A função T(x, y) satisfaz
T_{x}(2,3)=1, T_{y}(2,3)=4
Uma formiga é colocada no ponto (1,2) e começa a se mover. Sua posição (x, y) num tempo t é dada por x=1+(1 / 8) t^{3} e y=2+(1 / 4) t^{2}.
O que está acontecendo com a temperatura no caminho da formiga após 2 segundos? Qual é a taxa de aumento/diminuição?

Passo 1

O enunciado diz que a temperatura numa placa é dada por T(x,y) com
T_x(2,3)=1, \quad T_y(2,3)=4
e que uma formiga se move segundo
x(t)=1+\frac{1}{8}t^3, \quad y(t)=2+\frac{1}{4}t^2.
O que queremos é saber como varia a temperatura ao longo da trajetória da formiga, ou seja, calcular \dfrac{d}{dt}T\bigl(x(t),y(t)\bigr) em t=2. Para isso vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro vamos achar a posição da formiga em t=2.
Para x:
x(2)=1+\frac{1}{8}\cdot2^3 =1+\frac{1}{8}\cdot8 =1+1 =2.
Para y:
y(2)=2+\frac{1}{4}\cdot2^2 =2+\frac{1}{4}\cdot4 =2+1 =3.
Note que em t=2 a formiga está no ponto (2,3), onde conhecemos T_x e T_y.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas das coordenadas em função do tempo:
\frac{dx}{dt} =\frac{d}{dt}\Bigl(1+\tfrac{1}{8}t^3\Bigr) =\frac{3}{8}t^2,
\frac{dy}{dt} =\frac{d}{dt}\Bigl(2+\tfrac{1}{4}t^2\Bigr) =\frac{1}{2}t.
Em t=2:
\frac{dx}{dt}\Big|_{t=2} =\frac{3}{8}\cdot2^2 =\frac{3}{8}\cdot4 =\tfrac{3}{2}, \quad \frac{dy}{dt}\Big|_{t=2} =\frac{1}{2}\cdot2 =1.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
\frac{d}{dt}T\bigl(x(t),y(t)\bigr) =T_x(x,y)\,\frac{dx}{dt}+T_y(x,y)\,\frac{dy}{dt}.
Em t=2 usamos T_x(2,3)=1 e T_y(2,3)=4, e os valores de \frac{dx}{dt} e \frac{dy}{dt}:
\frac{dT}{dt}\Big|_{t=2} =1\cdot\tfrac{3}{2}+4\cdot1 =\tfrac{3}{2}+4 =\tfrac{11}{2}.

Passo 5

O resultado \tfrac{11}{2} é positivo, logo a temperatura ao longo do caminho da formiga está aumentando. A taxa de aumento é 5,5 graus Celsius por segundo.

Resposta

A temperatura aumenta a uma taxa de \tfrac{11}{2} °C/s (isto é, 5,5 °C/s) em t=2.

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