Seja
. Mostre que
tem só um ponto crítico e o ponto é um mínimo local e não um mínimo global.
Passo 1
A função é
. O conteúdo aqui é cálculo de pontos críticos em funções de duas variáveis: vamos precisar calcular as derivadas parciais, resolver
, usar a matriz Hessiana para classificar o ponto e, por fim, mostrar que esse mínimo não é global.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
Para :
Para
Para
Passo 3
Agora resolvemos o sistema
:
De vem
, ou seja,
ou
.
Se , na outra equação fica
, então
.
Se , então
.
Logo, o único ponto crítico é .
De
Se
Se
Logo, o único ponto crítico é
Passo 4
Para classificar, calculamos a Hessiana:
Em
A Hessiana fica
, que é positiva definida.
Isso garante que é um mínimo local.
Isso garante que
Passo 5
Para ver que não é mínimo global, note que se escolhermos qualquer
(por exemplo
), então
e
Levando
Portanto, não há valor mínimo absoluto.
Resposta
O único ponto crítico é (0,0), que é um mínimo local (Hessiana positiva definida) e não é mínimo global pois f tende a –∞ em certas direções.