Seja f(x, y)=x^2(y+1)^3+y^2. Mostre que f tem só um ponto crítico e o ponto é um mínimo local e não um mínimo global.

Passo 1

A função é f(x,y)=x^2(y+1)^3+y^2. O conteúdo aqui é cálculo de pontos críticos em funções de duas variáveis: vamos precisar calcular as derivadas parciais, resolver nabla f=0, usar a matriz Hessiana para classificar o ponto e, por fim, mostrar que esse mínimo não é global.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
Para x:
partial fpartial x=2x(y+1)^3
Para y:
partial fpartial y=x^2cdot3(y+1)^2+2y=3x^2(y+1)^2+2y

Passo 3

Agora resolvemos o sistema nabla f=0:
De partial f/partial x=0 vem 2x(y+1)^3=0, ou seja, x=0 ou y=-1.
Se x=0, na outra equação fica 2y=0, então y=0.
Se y=-1, então partial f/partial y=-2neq0.
Logo, o único ponto crítico é (0,0).

Passo 4

Para classificar, calculamos a Hessiana:
fxx=2(y+1)^3, fxy=6x(y+1)^2, fyy=6x^2(y+1)+2
Em (0,0):
fxx=2, ; fxy=0, ; fyy=2
A Hessiana fica 2&00&2, que é positiva definida.
Isso garante que (0,0) é um mínimo local.

Passo 5

Para ver que não é mínimo global, note que se escolhermos qualquer y<-1 (por exemplo y=-2), então (y+1)^3<0 e
f(x,y)=x^2(y+1)^3+y^2=-x^2+y^2
Levando xtoinfty, f(x,y)to-infty.
Portanto, não há valor mínimo absoluto.

Resposta

O único ponto crítico é (0,0), que é um mínimo local (Hessiana positiva definida) e não é mínimo global pois f tende a –∞ em certas direções.

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