Use o método de multiplicadores de Lagrange e ache os valores de máximo e mínimo.
f(x, y)=x^2+y^2, x+y=1

Passo 1

A questão pede para usar o método de multiplicadores de Lagrange para encontrar máximo e mínimo de f(x,y)=x²+y² sob a restrição x+y=1. O conteúdo envolvido é cálculo multivariável: montamos a lagrangeana e resolvemos ∇L=0 usando a condição de contorno g(x,y)=0.

Passo 2

Definimos a função de restrição g(x,y)=x+y−1. Construímos a lagrangeana L(x,y,λ) e escrevemos o sistema ∇L=0:
L(x,y,λ)=x^2+y^2-lambda(x+y-1)
partial Lpartial x=2x-lambda=0 partial Lpartial y=2y-lambda=0 partial Lpartial lambda=-(x+y-1)=0

Passo 3

Das primeiras duas equações vemos que 2x=λ e 2y=λ, logo x=y. Substituindo na restrição x+y=1 temos 2x=1 ⇒ x=½ e y=½.

Passo 4

Para saber a natureza do ponto, notamos que f é convexa (Hessian positivo definido), então o ponto crítico é mínimo global na reta x+y=1. Calculamos:
fl(tfrac12,tfrac12r)=(tfrac12)^2+(tfrac12)^2=tfrac14+tfrac14=tfrac12
Como a reta x+y=1 é ilimitada, f cresce sem limite e não há máximo.

Resposta

O valor mínimo é f=1/2 em (x,y)=(1/2,1/2). Não existe valor máximo, pois f tende a +∞ ao longo da reta x+y=1.

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