Seja f(x, y)= 2 x yx^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
(a) Mostre que existe as derivadas parciais em (0,0).
(b) Mostre que f não é contínua em (0,0) e portanto não é diferenciável em (0,0).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfrac2xyx^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0), 0,&se (x,y)=(0,0),
e pede (a) as derivadas parciais em (0,0) e (b) mostrar que f não é contínua em (0,0) (logo não é diferenciável ali). Vamos usar a definição de derivada parcial e a verificação de continuidade por limites ao longo de retas.

Passo 2

A derivada parcial de f em (0,0) em relação a x é
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h
Para y=0 e hneq0 temos
f(h,0)=2cdot hcdot0h^2+0^2=0,
então o quociente é tfrac0-0h=0. Logo
partial fpartial x(0,0)=0
Analogamente, a derivada parcial em relação a y é
partial fpartial y(0,0) =limkto0f(0,k)-f(0,0)k
e para x=0 vale f(0,k)=0, dando quociente zero. Logo
partial fpartial y(0,0)=0

Passo 3

Para testar continuidade em (0,0) comparamos lim(x,y)to(0,0)f(x,y) com f(0,0)=0. Ao longo da reta y=x (com xneq0) temos
f(x,x)=2,xcdot xx^2+x^2 =2x^22x^2=1
Como ao aproximar (x,x)to(0,0) o valor de f(x,x) tende a 1neq0, o limite não coincide com f(0,0).

Passo 4

Como existem direções ( y=x) em que lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=1 diferente de f(0,0)=0, f não é contínua em (0,0). E diferenciabilidade em um ponto exige continuidade ali, logo f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

partial fpartial x(0,0)=0, partial fpartial y(0,0)=0
f não é contínua em (0,0) (limite ao longo de y=x 1neq0), portanto não é diferenciável em (0,0).

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