Seja
definida em
.
(a) Dê o plano que passa por
e
e seja tangente ao gráfico de
.
(b) Considere
o ponto de tangência do plano encontrado em (a) com o gráfico de
. Estando em
, dê a direção e o sentido que se deve seguir para o maior crescimento de
.
(a) Dê o plano que passa por
(b) Considere
Passo 1
O enunciado dá a função
definida em
e pede duas coisas:
- (a) Encontrar o plano que passa pelos pontos
e e que é tangente ao gráfico de . - (b) Sendo
o ponto de tangência do plano encontrado em (a), dar, em , a direção e o sentido que se deve seguir para obter o maior crescimento de .
Informações relevantes fornecidas:
Os pontos pelos quais o plano deve passar são
e
.
O plano deve ser tangente ao gráfico de em algum ponto
com
.
O plano deve ser tangente ao gráfico de
Passo 2
Explicar a fórmula do plano tangente: se
é diferenciável, o plano tangente ao gráfico de
no ponto
(com
) tem a equação
Aqui
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
; elas medem a taxa de variação de
quando varia uma variável, mantendo a outra fixa. Esse plano é a melhor aproximação linear de
perto de
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
Derivando em relação a (tratando
como constante):
Derivando em relação a
Derivando em relação a
(tratando
como constante):
Essas expressões valem em qualquer ponto
.
Passo 4
Escrever a equação geral do plano tangente em termos de
. Usando a fórmula do Passo 2 com
,
e
, obtemos
Fazendo uma simplificação algébrica (expandindo e reduzindo termos constantes), essa equação pode ser escrita de forma mais direta como
Verificação rápida: ao substituir
obtemos
, como esperado.
Passo 5
Impor que esse plano passe pelos pontos dados. Primeiro, o ponto
deve satisfazer a equação do plano, então
Isso dá
Segundo, o ponto
deve satisfazer também:
Isso dá
Passo 6
Resolver o sistema obtido em
:
Do primeiro resultado temos . As possibilidades são
ou
.
Do primeiro resultado temos
-
Se
, então a segunda equação exige , ou seja , impossível. Logo . -
Portanto deve valer
. Substituindo na segunda equação:
Portanto
e
. O ponto de tangência no gráfico tem
. Assim
.
Passo 7
Escrever a equação final do plano tangente usando os valores encontrados. Substituindo
e
na forma simplificada do Passo 4:
Com
,
e
, obtemos
Verificação rápida:
dá
e
dá
, como exigido.
Passo 8
Explicar o conceito de direção de maior crescimento: para uma função
, o gradiente
aponta a direção no plano
em que
cresce mais rapidamente a partir de
. O valor da derivada direcional nessa direção é justamente o módulo
, ou seja, a magnitude do gradiente. Para obter a direção unitária de máximo crescimento usamos
Passo 9
Calcular o gradiente no ponto de tangência
. Usando
e
,
O vetor gradiente é
. Seu módulo é
. Portanto a direção de maior crescimento é a direção do vetor
e o sentido é o sentido positivo desse vetor, i.e., aumentar
. A taxa máxima de crescimento (derivada direcional na direção do gradiente) vale
por unidade de deslocamento.