Seja f(x, y)=x+x y definida em \mathbb{R}^{2}.
(a) Dê o plano que passa por (1,0,1) e (-1,0,1) e seja tangente ao gráfico de f.
(b) Considere \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) o ponto de tangência do plano encontrado em (a) com o gráfico de f. Estando em \left(x_{0}, y_{0}\right), dê a direção e o sentido que se deve seguir para o maior crescimento de f.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x+xy definida em \mathbb{R}^2 e pede duas coisas:
  1. (a) Encontrar o plano que passa pelos pontos (1,0,1) e (-1,0,1) e que é tangente ao gráfico de f.
  2. (b) Sendo \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right) o ponto de tangência do plano encontrado em (a), dar, em \left(x_{0},y_{0}\right), a direção e o sentido que se deve seguir para obter o maior crescimento de f.
Informações relevantes fornecidas:
f(x,y)=x+xy
Os pontos pelos quais o plano deve passar são (1,0,1) e (-1,0,1).
O plano deve ser tangente ao gráfico de f em algum ponto \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right) com z_{0}=f(x_{0},y_{0}).

Passo 2

Explicar a fórmula do plano tangente: se f é diferenciável, o plano tangente ao gráfico de f no ponto \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right) (com z_{0}=f(x_{0},y_{0})) tem a equação
z = f(x_{0},y_{0}) + f_x(x_{0},y_{0})\,(x-x_{0}) + f_y(x_{0},y_{0})\,(y-y_{0}).
Aqui f_x e f_y são as derivadas parciais de f em relação a x e y; elas medem a taxa de variação de f quando varia uma variável, mantendo a outra fixa. Esse plano é a melhor aproximação linear de f perto de (x_{0},y_{0}).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x+xy.
Derivando em relação a x (tratando y como constante):
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(x+xy)=1+y.
Derivando em relação a y (tratando x como constante):
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(x+xy)=x.
Essas expressões valem em qualquer ponto (x,y).

Passo 4

Escrever a equação geral do plano tangente em termos de x_{0},y_{0}. Usando a fórmula do Passo 2 com f(x_{0},y_{0})=x_{0}+x_{0}y_{0}, f_x(x_{0},y_{0})=1+y_{0} e f_y(x_{0},y_{0})=x_{0}, obtemos
z = x_{0}+x_{0}y_{0} + (1+y_{0})(x-x_{0}) + x_{0}(y-y_{0}).
Fazendo uma simplificação algébrica (expandindo e reduzindo termos constantes), essa equação pode ser escrita de forma mais direta como
z = (1+y_{0})\,x + x_{0}\,y - x_{0}y_{0}.
Verificação rápida: ao substituir x=x_{0},y=y_{0} obtemos z=x_{0}+x_{0}y_{0}, como esperado.

Passo 5

Impor que esse plano passe pelos pontos dados. Primeiro, o ponto (1,0,1) deve satisfazer a equação do plano, então
1 = (1+y_{0})\cdot 1 + x_{0}\cdot 0 - x_{0}y_{0}.
Isso dá
1 = 1 + y_{0} - x_{0}y_{0}\quad\Longrightarrow\quad 0 = y_{0}(1-x_{0}).
Segundo, o ponto (-1,0,1) deve satisfazer também:
1 = (1+y_{0})(-1) + x_{0}\cdot 0 - x_{0}y_{0}.
Isso dá
1 = -1 - y_{0} - x_{0}y_{0}\quad\Longrightarrow\quad 2 + y_{0}(1+x_{0}) = 0\quad\Longrightarrow\quad y_{0}(1+x_{0}) = -2.

Passo 6

Resolver o sistema obtido em x_{0},y_{0}:
Do primeiro resultado temos y_{0}(1-x_{0})=0. As possibilidades são y_{0}=0 ou x_{0}=1.
  • Se y_{0}=0, então a segunda equação exige 0\cdot(1+x_{0})=-2, ou seja 0=-2, impossível. Logo y_{0}\neq 0.
  • Portanto deve valer x_{0}=1. Substituindo na segunda equação:
y_{0}(1+1)= -2 \quad\Longrightarrow\quad 2y_{0}=-2 \quad\Longrightarrow\quad y_{0}=-1.
Portanto x_{0}=1 e y_{0}=-1. O ponto de tangência no gráfico tem z_{0}=f(1,-1)=1+1\cdot(-1)=0. Assim \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)=(1,-1,0).

Passo 7

Escrever a equação final do plano tangente usando os valores encontrados. Substituindo x_{0}=1 e y_{0}=-1 na forma simplificada do Passo 4:
z = (1+y_{0})\,x + x_{0}\,y - x_{0}y_{0}.
Com 1+y_{0}=1-1=0, x_{0}=1 e -x_{0}y_{0}=-1\cdot(-1)=1, obtemos
z = 0\cdot x + 1\cdot y + 1 \quad\Longrightarrow\quad z = y + 1.
Verificação rápida: (1,0,1) z=0+1=1 e (-1,0,1) z=0+1=1, como exigido.

Passo 8

Explicar o conceito de direção de maior crescimento: para uma função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, o gradiente
\nabla f(x,y) = \big(f_x(x,y),\, f_y(x,y)\big)
aponta a direção no plano (x,y) em que f cresce mais rapidamente a partir de (x,y). O valor da derivada direcional nessa direção é justamente o módulo \|\nabla f\|, ou seja, a magnitude do gradiente. Para obter a direção unitária de máximo crescimento usamos
\mathbf{u}=\frac{\nabla f}{\|\nabla f\|}.

Passo 9

Calcular o gradiente no ponto de tangência (x_{0},y_{0})=(1,-1). Usando f_x(x,y)=1+y e f_y(x,y)=x,
\nabla f(1,-1) = \big(1+(-1),\;1\big) = (0,1).
O vetor gradiente é (0,1). Seu módulo é \|(0,1)\|=\sqrt{0^2+1^2}=1. Portanto a direção de maior crescimento é a direção do vetor (0,1) e o sentido é o sentido positivo desse vetor, i.e., aumentar y. A taxa máxima de crescimento (derivada direcional na direção do gradiente) vale 1 por unidade de deslocamento.

Resposta

z = y + 1\nDireção de maior crescimento em (1,-1): vetor (0,1), sentido no sentido positivo de y (unidade (0,1)), taxa de crescimento máxima igual a 1.

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