Seja
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(a) ( 0,5 pontos) Indique o(s) conjunto(s) onde
é um campo conservativo.
(a) ( 0,5 pontos) Indique o(s) conjunto(s) onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para identificar onde o campo vetorial $ F(x, y) = \left(\frac{y}{x^{2}}, -\frac{1}{x}\right) $ é um campo conservativo. Isso está dentro da matéria de Cálculo Vetorial, especificamente sobre campos conservativos. Para resolver, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e quais são as condições para que um campo seja considerado assim.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial $ F = (P, Q) $ é conservativo se existe uma função potencial $ \phi(x, y) $ tal que $ F = \nabla \phi $. Na prática, isso significa que o campo é derivado de uma função escalar, e o trabalho realizado ao mover uma partícula nesse campo depende apenas dos pontos inicial e final, não pelo caminho seguido.
Passo 3
Para verificar se $ F $ é conservativo, usamos uma condição importante: em um domínio simplesmente conectado, o campo $ F = (P, Q) $ é conservativo se e somente se:
Vamos calcular essas derivadas parciais para o nosso campo.
Passo 4
Primeiro, identifiquemos $ P $ e $ Q $:
Agora, vamos calcular $ \frac{\partial Q}{\partial x} $:
E $ \frac{\partial P}{\partial y} $:
Passo 5
Observamos que:
Essa igualdade mostra que a condição necessária para o campo ser conservativo é satisfeita. Porém, precisamos também garantir que o domínio onde o campo é definido seja simplesmente conectado, ou seja, que não haja “falhas” ou “buracos” que possam impedir a existência da função potencial.
Passo 6
O campo $ F(x, y) = \left(\frac{y}{x^{2}}, -\frac{1}{x}\right) $ está definido para todos os pontos onde $ x \neq 0 $, pois temos divisão por $ x^{2} $ e $ x $. Portanto, o domínio é $ \mathbb{R}^{2} $ menos a linha $ x = 0 $.
Esse domínio é composto por duas regiões separadas: uma para $ x > 0 $ e outra para $ x < 0 $. Cada uma dessas regiões é simplesmente conectada, pois não têm “buracos”.
Passo 7
Concluindo, o campo $ F $ é conservativo em cada uma das regiões onde está definido, ou seja, para $ x > 0 $ e para $ x < 0 $. Não é conservativo em todo o plano $ \mathbb{R}^{2} $ porque o domínio não é simplesmente conectado globalmente, mas é conservativo nas regiões $ x > 0 $ e $ x < 0 $ individualmente.
Resposta
O campo $ F $ é conservativo para todos os pontos onde $ x \neq 0 $, ou seja, nos conjuntos $ x > 0 $ e $ x < 0 $.