Seja
.
Mostre que
se
e
forem os trajetos semicirculares de
até
dados por
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que as integrais de linha da função vetorial
ao longo de dois caminhos semicirculares,
e
, de
até
, são diferentes. Para isso, vamos precisar conhecer conceitos de cálculo vetorial, como integrais de linha e parametrização de curvas. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender os caminhos
e
. Eles são semicirculares que vão de
a
:
-
: Semicírculo superior, dado por , , com . -
: Semicírculo inferior, dado por , , com .
Essas parametrizações nos ajudam a descrever os caminhos de uma forma conveniente para calcular a integral de linha.
Passo 3
Vamos lembrar que a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva
é dada por:
Aqui,
é a parametrização da curva e
é a derivada dessa parametrização em relação a
.
Passo 4
Vamos calcular a integral para
primeiro.
Para
:
Passo 5
Agora, substituímos
na função
:
Sabemos que
, então simplificando:
Passo 6
Agora, calculamos o produto escalar
:
Passo 7
A integral ao longo de
fica então:
Passo 8
Agora, vamos calcular a integral para
.
Para
:
Passo 9
Substituindo
na função
:
Simplificando, já que
:
Passo 10
Calculando o produto escalar
:
Passo 11
A integral ao longo de
fica então:
Resposta
Concluímos que:
Portanto, as integrais ao longo dos caminhos
e
são diferentes.