Seja F(x, y)=yx^2+y^2 i-xx^2+y^2 j.
Mostre que
integralC1 F cdot d r neq integralC2 F cdot d r
se C1 e C2 forem os trajetos semicirculares de (1,0) até (-1,0) dados por
cc C1: x=cos t, y=sen t & (0 <= t <= pi) C2: x=cos t, y=-sen t & (0 <= t <= pi)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que as integrais de linha da função vetorial ao longo de dois caminhos semicirculares, e , de até , são diferentes. Para isso, vamos precisar conhecer conceitos de cálculo vetorial, como integrais de linha e parametrização de curvas. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender os caminhos e . Eles são semicirculares que vão de a :
  • : Semicírculo superior, dado por , , com .
  • : Semicírculo inferior, dado por , , com .
Essas parametrizações nos ajudam a descrever os caminhos de uma forma conveniente para calcular a integral de linha.

Passo 3

Vamos lembrar que a integral de linha de um campo vetorial integralC F cdot dr = integrala^b F(r(t)) cdot r'(t) , dt ao longo de uma curva é dada por:
Aqui, é a parametrização da curva e é a derivada dessa parametrização em relação a .

Passo 4

Vamos calcular a integral para x = cos t y = sin t Rightarrow r(t) = cos t , i + sin t , j r'(t) = -sin t , i + cos t , j primeiro.
Para :

Passo 5

Agora, substituímos F(r(t)) = sin tcos^2 t + sin^2 t i - cos tcos^2 t + sin^2 t j na função F(r(t)) = sin t , i - cos t , j :
Sabemos que , então simplificando:

Passo 6

Agora, calculamos o produto escalar (sin t , i - cos t , j) cdot (-sin t , i + cos t , j) = (-sin^2 t) + (-cos^2 t) = -(sin^2 t + cos^2 t) = -1 :

Passo 7

A integral ao longo de integralC1 F cdot dr = integral0^pi (-1) , dt = -pi fica então:

Passo 8

Agora, vamos calcular a integral para x = cos t y = -sin t Rightarrow r(t) = cos t , i - sin t , j r'(t) = -sin t , i - cos t , j .
Para :

Passo 9

Substituindo F(r(t)) = -sin tcos^2 t + sin^2 t i - cos tcos^2 t + sin^2 t j na função F(r(t)) = -sin t , i - cos t , j :
Simplificando, já que :

Passo 10

Calculando o produto escalar (-sin t , i - cos t , j) cdot (-sin t , i - cos t , j) = (sin^2 t) + (cos^2 t) = sin^2 t + cos^2 t = 1 :

Passo 11

A integral ao longo de integralC2 F cdot dr = integral0^pi 1 , dt = pi fica então:

Resposta

Concluímos que:
integralC1 F cdot dr = -pi neq pi = integralC2 F cdot dr
Portanto, as integrais ao longo dos caminhos e são diferentes.

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