Resolver o problema misto para a equação da onda:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação da onda unidimensional
com condições de contorno homogêneas em x=0 e x=3 e condições iniciais u(x,0)=0 e u_t(x,0)=x(3-x). Vamos usar separação de variáveis e série de Fourier em funções seno, pois as condições de contorno são do tipo Dirichlet homogeneizado.
Passo 2
Primeiro identificamos as autofunções espaciais e as frequências naturais. Com separação assumimos
levando às equações:
As condições X(0)=X(3)=0 geram os autovalores
Passo 3
Sabendo que a solução geral é
usamos as condições iniciais. Como u(x,0)=0, todos os
Passo 4
Calculamos os coeficientes
via fórmula de Fourier seno:
Fazendo a integral e usando
$$B_n=\begin{cases}0,&npar,\[6pt]\dfrac{72}{n3\pi3}\cdot\dfrac{1}{n\pi}=\dfrac{72}{n4\pi4},&nímpar.
\end{cases}$$
Passo 5
Finalmente escrevemos a solução como série apenas de modos ímpares:
$$u(x,t)=\sum_{k=0}\infty\frac{72}{(2k+1)4\pi^4},\sin\bigl((2k+1)\pi t\bigr),\sin\Bigl(\tfrac{(2k+1)\pi x}{3}\Bigr).
$$