Resolver o problema misto para a equação da onda:
& ut t-9 ux x=0, (x, t) in(0,3) times R+ & u(x, 0)=0, ut(x, 0)=x(3-x) & u(0, t)=u(3, t)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação da onda unidimensional
utt-9uxx=0,
com condições de contorno homogêneas em x=0 e x=3 e condições iniciais u(x,0)=0 e u_t(x,0)=x(3-x). Vamos usar separação de variáveis e série de Fourier em funções seno, pois as condições de contorno são do tipo Dirichlet homogeneizado.

Passo 2

Primeiro identificamos as autofunções espaciais e as frequências naturais. Com separação assumimos
u(x,t)=X(x)T(t),
levando às equações:
X''+lambda X=0,
T''+9lambda T=0
As condições X(0)=X(3)=0 geram os autovalores lambdan=(npi/3)^2 e autofunções Xn(x)=sin(npi x/3). As frequências naturais são omegan=3raizlambdan=npi

Passo 3

Sabendo que a solução geral é
u(x,t)=sumn=1^infty Ancos(omegan t)sinl(tfracnpi x3r)+Bnsin(omegan t)sinl(tfracnpi x3r),
usamos as condições iniciais. Como u(x,0)=0, todos os An=0. Para determinar Bn, expandimos a velocidade inicial
ut(x,0)=f(x)=x(3-x)=sumn=1^infty Bn,omegansinl(tfracnpi x3r)

Passo 4

Calculamos os coeficientes Bn via fórmula de Fourier seno:
Bn,omegan=23integral0^3x(3-x)sinl(tfracnpi x3r),dx
Fazendo a integral e usando omegan=npi, obtemos
$$B_n=\begin{cases}0,&npar,\[6pt]\dfrac{72}{n3\pi3}\cdot\dfrac{1}{n\pi}=\dfrac{72}{n4\pi4},&nímpar.
\end{cases}$$

Passo 5

Finalmente escrevemos a solução como série apenas de modos ímpares:
$$u(x,t)=\sum_{k=0}\infty\frac{72}{(2k+1)4\pi^4},\sin\bigl((2k+1)\pi t\bigr),\sin\Bigl(\tfrac{(2k+1)\pi x}{3}\Bigr).
$$

Resposta

u(x,t)=sumk=0^infty72(2k+1)^4pi^4,sinl((2k+1)pi tr),sinl(tfrac(2k+1)pi x3r)

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