Seja f(x, y, z) uma função de classe C^{2} em um aberto D \subset \mathbb{R}^{3}. Suponha que p=\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \in D seja um ponto crítico D. Mostre que
(a) Se p é ponto de máximo de f, então f_{x x}(p)<0, f_{y y}(p)<0 e f_{z z}(p)<0;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • f(x,y,z) é de classe C^{2} num aberto D\subset\mathbb{R}^{3}.
    • p=(x_{0},y_{0},z_{0})\in D é um ponto crítico de f. Isso significa que as derivadas parciais primeiras em p são nulas:
    f_{x}(p)=0,\qquad f_{y}(p)=0,\qquad f_{z}(p)=0.
  • O que o enunciado pede:
    • Mostrar que, se p é ponto de máximo de f, então
    f_{x x}(p)<0,\qquad f_{y y}(p)<0,\qquad f_{z z}(p)<0.
Observação: o enunciado pede desigualdades estritas. Ao longo da resolução vamos mostrar primeiro a consequência que sempre vale (desigualdades não estritas) e depois discutir a questão da estrita negatividade e se isso é sempre verdadeiro.

Passo 2

Ideia de resolução (sem resolver ainda): restringir f a curvas que fixam as outras coordenadas e variar só uma coordenada de cada vez. Por exemplo, olhar a função univariada
g(t)=f(x_{0}+t,y_{0},z_{0}).
Como f é C^{2}, g é C^{2} também. Se p é um máximo local de f, então t=0 é um máximo local de g. Aplicando o teste de segunda derivada univariado a g obtemos uma condição sobre g''(0), que será justamente f_{xx}(p). Repetimos a mesma ideia para as direções y e z.
Antes de aplicar, vamos lembrar e provar (rapidamente) o teste de segunda derivada para funções univariadas no formato que usaremos.

Passo 3

Lema (teste da segunda derivada univariado, no que precisamos): seja g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} de classe C^{2}. Se t=0 é ponto crítico de g (ou seja, g'(0)=0) e t=0 é um máximo local de g, então
g''(0)\le 0.
Prova do lema (muito direta, usando expansão de Taylor até ordem 2): como g é C^{2} temos a expansão
g(t)=g(0)+g'(0)t+\frac{1}{2}g''(0)t^{2}+o(t^{2})\quad\text{quando }t\to 0.
Como t=0 é ponto crítico, g'(0)=0. Como t=0 é máximo local, para t suficientemente pequeno vale g(t)\le g(0). Então, dividindo por t^{2} (para t\neq 0) e tomando limite t\to 0,
0 \ge \lim_{t\to 0}\frac{g(t)-g(0)}{t^{2}} = \lim_{t\to 0}\left(\frac{1}{2}g''(0)+\frac{o(t^{2})}{t^{2}}\right)=\frac{1}{2}g''(0).
Logo g''(0)\le 0. Isso conclui o lema.
Observação: o lema dá desigualdade não estrita \le 0. Mais adiante discutimos se pode ser estrita.

Passo 4

Aplicando o lema à restrição de f na direção x:
Defina
g(t)=f(x_{0}+t,y_{0},z_{0}).
Como f é C^{2}, g é C^{2}. Se p é ponto de máximo local de f, então t=0 é ponto de máximo local de g. Além disso, por hipótese p é crítico, logo
g'(0)=\left.\frac{d}{dt}f(x_{0}+t,y_{0},z_{0})\right|_{t=0}=f_{x}(p)=0.
A derivada segunda de g é, pelo cálculo de derivadas (regra da cadeia aplicada duas vezes ou diferenciação direta),
g''(t)=\frac{d^{2}}{dt^{2}}f(x_{0}+t,y_{0},z_{0})=\bigl(f_{xx},\bigr)(x_{0}+t,y_{0},z_{0}),
portanto em particular
g''(0)=f_{xx}(p).
Pelo lema, como t=0 é máximo local de g e g'(0)=0, segue
g''(0)\le 0\quad\Rightarrow\quad f_{xx}(p)\le 0.
Repetindo exactamente a mesma construção para as direções y e z (definindo h(t)=f(x_{0},y_{0}+t,z_{0}) e k(t)=f(x_{0},y_{0},z_{0}+t)) obtemos, pelas mesmas razões,
f_{yy}(p)\le 0,\qquad f_{zz}(p)\le 0.
Até aqui, portanto, provamos que em um ponto crítico que é máximo local sempre vale
f_{xx}(p)\le 0,\qquad f_{yy}(p)\le 0,\qquad f_{zz}(p)\le 0.

Passo 5

Discussão sobre desigualdade estrita ( <0) e por que a afirmação do enunciado, na forma estrita, não vale sem hipóteses adicionais.
  • Contraexemplo que mostra que a desigualdade estrita pode falhar: considere
f(x,y,z) = -x^{4}-y^{4}-z^{4}.
No ponto p=(0,0,0) temos que p é ponto crítico (as primeiras derivadas são zero) e é ponto de máximo estrito local (na verdade global), porque para qualquer ponto diferente de 0 pelo menos uma das parcelas -x^{4},-y^{4},-z^{4} é negativa e f<0=f(0). Contudo,
f_{xx}(0,0,0)=\left.\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}(-x^{4})\right|_{0}= -12\cdot 0^{2}=0,
isto é, f_{xx}(p)=0 (e análoga para f_{yy},f_{zz}). Portanto aqui há um máximo estrito mas as segundas derivadas são zero: as desigualdades estritas (<0) são falsas neste exemplo. Logo a afirmação com “<0” sem hipóteses adicionais é falsa.
  • Quando podemos garantir desigualdades estritas? Se o ponto crítico p for não degenerado no sentido de que a matriz Hessiana H_f(p) é definida negativa (isto é, a forma quadrática v^{T}H_f(p)v<0 para todo v\neq 0), então para os vetores canônicos e_{1},e_{2},e_{3} vale
e_{1}^{T}H_f(p)e_{1}=f_{xx}(p)<0,\quad e_{2}^{T}H_f(p)e_{2}=f_{yy}(p)<0,\quad e_{3}^{T}H_f(p)e_{3}=f_{zz}(p)<0.
Portanto, sob a hipótese extra de Hessiana definida negativa (ou seja, ponto crítico não degenerado de máximo), obtemos as desigualdades estritas pedidas.

Passo 6

Resumo didático e dicas para a prova (passo a passo que você pode repetir na hora da prova):
  1. Ao ver um ponto crítico que é máximo, pense em restringir a f a uma variável de cada vez, mantendo as outras fixas. Isso transforma o problema em um problema univariado simples.
  2. Use o teste da segunda derivada univariado: em uma função g com g'(0)=0 e máximo local em 0 vale g''(0)\le 0.
  3. Calcule g''(0) pela regra da cadeia e observe que g''(0) é exatamente a derivada parcial segunda correspondente em p.
  4. Conclua que f_{xx}(p)\le 0, etc. Se o enunciado exigir “<0”, verifique se há hipótese adicional (por exemplo, Hessiana definida negativa). Se não houver, esteja pronto para dar um contraexemplo como o -x^{4}-y^{4}-z^{4}.

Resposta

f_{xx}(p)\le 0,\qquad f_{yy}(p)\le 0,\qquad f_{zz}(p)\le 0.
Observação: as desigualdades estritas f_{xx}(p)<0, f_{yy}(p)<0, f_{zz}(p)<0 não são verdadeiras em geral sem hipóteses extras (contraexemplo: f(x,y,z)=-x^{4}-y^{4}-z^{4}). Se, além de p ser máximo, a Hessiana H_{f}(p) for definida negativa, então as desigualdades estritas valem.

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