Sejam f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} uma função de classe C^{2} e x_{0} \in \mathbb{R} ponto crítico de f tal que f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right) \neq 0. Mostre que
(b) se f^{\prime}\left(x_{0}\right)<0, então x_{0} é máximo local de f
Passo 1
O enunciado (como está) dá as seguintes informações:
f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é de classe C^{2}.
x_{0}\in\mathbb{R} é um ponto crítico de f (ou seja, f'(x_{0})=0).
Está indicado que f''(x_{0})\neq0.
O que se pede provar no item (b) (interpretação necessária): mostrar que, se f''(x_{0})<0, então x_{0} é máximo local de f.
Observação importante: o enunciado enviado dizia “se f'(x_{0})<0”, mas isso conflita com “x_{0} é ponto crítico” (pois ponto crítico implica f'(x_{0})=0). Portanto vou assumir que houve um pequeno erro de digitação e que a condição correta a ser usada é \,f''(x_{0})<0. A partir dessa hipótese (compatível com o resto do enunciado) procedo à demonstração.
Passo 2
Definição e ideia que vamos usar:
Definição de máximo local: x_{0} é máximo local se existe \delta>0 tal que, para todo x com |x-x_{0}|<\delta, vale f(x)\le f(x_{0}). Para mostrar máximo estrito basta provar f(x)<f(x_{0}) para 0<|x-x_{0}|<\delta.
Ferramenta técnica: como f é C^{2}, podemos usar a expansão de Taylor de segunda ordem em torno de x_{0} com resto pequeno:
Como x_{0} é ponto crítico, f'(x_{0})=0. Assim a expansão simplifica e a diferença f(x)-f(x_{0}) tem a forma quadrática principal mais um resto de ordem menor:
Concluímos que existe um entorno (x_{0}-\delta,x_{0}+\delta) em que todos os pontos distintos de x_{0} têm valor de f estritamente menor que f(x_{0}). Isso é exatamente a condição de x_{0} ser máximo local (estrito).
Intuição rápida e exemplo: a condição f''(x_{0})<0 significa que a curva é “côncava para baixo” em x_{0} (como um teto). Um exemplo concreto e simples é f(x)=-x^{2} em x_{0}=0: tem f'(0)=0 e f''(0)=-2<0, e de fato 0 é máximo local.