Sejam f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} uma função de classe C^{2} e x_{0} \in \mathbb{R} ponto crítico de f tal que f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right) \neq 0. Mostre que
(b) se f^{\prime}\left(x_{0}\right)<0, então x_{0} é máximo local de f

Passo 1

O enunciado (como está) dá as seguintes informações:
  • f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é de classe C^{2}.
  • x_{0}\in\mathbb{R} é um ponto crítico de f (ou seja, f'(x_{0})=0).
  • Está indicado que f''(x_{0})\neq0.
O que se pede provar no item (b) (interpretação necessária): mostrar que, se f''(x_{0})<0, então x_{0} é máximo local de f.
Observação importante: o enunciado enviado dizia “se f'(x_{0})<0”, mas isso conflita com “ x_{0} é ponto crítico” (pois ponto crítico implica f'(x_{0})=0). Portanto vou assumir que houve um pequeno erro de digitação e que a condição correta a ser usada é \,f''(x_{0})<0. A partir dessa hipótese (compatível com o resto do enunciado) procedo à demonstração.

Passo 2

Definição e ideia que vamos usar:
  • Definição de máximo local: x_{0} é máximo local se existe \delta>0 tal que, para todo x com |x-x_{0}|<\delta, vale f(x)\le f(x_{0}). Para mostrar máximo estrito basta provar f(x)<f(x_{0}) para 0<|x-x_{0}|<\delta.
  • Ferramenta técnica: como f é C^{2}, podemos usar a expansão de Taylor de segunda ordem em torno de x_{0} com resto pequeno:
f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\tfrac{1}{2}f''(x_{0})(x-x_{0})^{2}+r(x),
onde o resto satisfaz
\lim_{x\to x_{0}}\frac{r(x)}{(x-x_{0})^{2}}=0,
ou seja, r(x)=o\big((x-x_{0})^{2}\big).
  • Como x_{0} é ponto crítico, f'(x_{0})=0. Assim a expansão simplifica e a diferença f(x)-f(x_{0}) tem a forma quadrática principal mais um resto de ordem menor:
f(x)-f(x_{0})=\tfrac{1}{2}f''(x_{0})(x-x_{0})^{2}+r(x).
Vou usar essa expressão e a propriedade r(x)=o((x-x_{0})^{2}) para controlar o sinal de f(x)-f(x_{0}) perto de x_{0}.

Passo 3

Colocando notação para clareza: seja c:=f''(x_{0}). Pela hipótese de interesse temos c<0.
Pelo limite que define o o-pequeno, existe \delta>0 tal que, para 0<|x-x_{0}|<\delta,
\left|\frac{r(x)}{(x-x_{0})^{2}}\right|<\frac{|c|}{4}.
Isto é equivalente a
|r(x)|<\frac{|c|}{4}(x-x_{0})^{2}.
Agora estime f(x)-f(x_{0}) para 0<|x-x_{0}|<\delta:
\begin{aligned} f(x)-f(x_{0}) &= \tfrac{1}{2}c\,(x-x_{0})^{2}+r(x)\\[4pt] &\le \tfrac{1}{2}c\,(x-x_{0})^{2} + |r(x)|\\[4pt] &\le \tfrac{1}{2}c\,(x-x_{0})^{2} + \frac{|c|}{4}(x-x_{0})^{2}. \end{aligned}
Como c<0 temos \tfrac{1}{2}c = -\tfrac{1}{2}|c|. Substituindo:
f(x)-f(x_{0}) \le -\tfrac{1}{2}|c|(x-x_{0})^{2} + \tfrac{1}{4}|c|(x-x_{0})^{2} = -\tfrac{1}{4}|c|(x-x_{0})^{2}.
Portanto, para todo x com 0<|x-x_{0}|<\delta,
f(x)-f(x_{0}) < 0,
ou seja,
f(x)<f(x_{0}).]

Passo 4

Concluímos que existe um entorno (x_{0}-\delta,x_{0}+\delta) em que todos os pontos distintos de x_{0} têm valor de f estritamente menor que f(x_{0}). Isso é exatamente a condição de x_{0} ser máximo local (estrito).
Intuição rápida e exemplo: a condição f''(x_{0})<0 significa que a curva é “côncava para baixo” em x_{0} (como um teto). Um exemplo concreto e simples é f(x)=-x^{2} em x_{0}=0: tem f'(0)=0 e f''(0)=-2<0, e de fato 0 é máximo local.

Resposta

\,x_{0} é máximo local de f.

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