Seja F(x, y, z)=sen y i+x cos y j-sen z k um campo vetorial em R^3. Mostre que F um campo vetorial conservativo.

Passo 1

O enunciado pede pra mostrar que o campo vetorial F(x,y,z)=sin y, i + xcos y, j -sin z, k é conservativo. O conteúdo aqui é cálculo vetorial: a ideia é usar o teste do rotacional (curl) e depois encontrar a função potencial caso ele seja nulo.

Passo 2

Vamos calcular o rotacional de F, que em coordenadas cartesianas é dado por nablatimes F. Verificamos cada componente:
Componente i:
(nablatimes F)1 = partialpartial y(-sin z) - partialpartial z(xcos y) = 0 - 0 = 0
Componente j:
(nablatimes F)2 = partialpartial z(sin y) - partialpartial x(-sin z) = 0 - 0 = 0
Componente k:
(nablatimes F)3 = partialpartial x(xcos y) - partialpartial y(sin y) = cos y - cos y = 0

Passo 3

Como todas as componentes do rotacional são zero e o domínio é R^3, que é simplesmente conexo, concluímos que F é conservativo e existe uma função potencial phi(x,y,z).

Passo 4

Para achar phi, integramos a componente F1=sin y em relação a x:
phi(x,y,z)=integral sin y,dx = xsin y + G(y,z),
onde G(y,z) é uma função a determinar.

Passo 5

Derivamos phi em relação a y e igualamos a F2=xcos y:
partialphipartial y = xcos y + partial Gpartial y stackrel!= xcos y implies partial Gpartial y=0 implies G(y,z)=H(z)

Passo 6

Agora derivamos phi em z e igualamos a F3=-sin z:
partialphipartial z = H'(z) stackrel!= -sin z implies H'(z)=-sin z implies H(z)=cos z + C

Passo 7

Juntando tudo, a função potencial é
phi(x,y,z)=xsin y + cos z + C

Resposta

O campo é conservativo e uma função potencial é phi(x,y,z)=xsin y + cos z + C.

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