Seja
um campo vetorial em
. Mostre que
um campo vetorial conservativo.
Passo 1
O enunciado pede pra mostrar que o campo vetorial
é conservativo. O conteúdo aqui é cálculo vetorial: a ideia é usar o teste do rotacional (curl) e depois encontrar a função potencial caso ele seja nulo.
Passo 2
Vamos calcular o rotacional de
, que em coordenadas cartesianas é dado por
. Verificamos cada componente:
Componente :
Componente
Componente
Componente
:
Passo 3
Como todas as componentes do rotacional são zero e o domínio é
, que é simplesmente conexo, concluímos que
é conservativo e existe uma função potencial
.
Passo 4
Para achar
, integramos a componente
em relação a
:
onde
Passo 5
Derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Passo 6
Agora derivamos
em
e igualamos a
:
Passo 7
Juntando tudo, a função potencial é
Resposta
O campo é conservativo e uma função potencial é
.