Use coordenadas polares para determinar o volume do sólido abaixo do plano
acima do disco com círculo limite
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido que fica abaixo do plano
e acima do disco no plano
definido por
. O conteúdo é mudança para coordenadas polares e cálculo de integral dupla sobre a região do disco.
Passo 2
Vamos descrever a região
no plano
. Em coordenadas polares temos
e
. A equação do círculo-limite é
com
e
, logo
e
.
Passo 3
O volume é dado por
e em polares
, então
Passo 4
Agora integramos primeiro em
:
Passo 5
O termo com
desaparece ao integrar de 0 a
porque é uma derivada exata em
. Fica assim
Passo 6
Usamos as fórmulas
e
. Então