Use coordenadas polares para determinar o volume do sólido abaixo do plano 6 x+4 y+z=12 e acima do disco com círculo limite x^2+y^2=y.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que fica abaixo do plano 6x+4y+z=12 e acima do disco no plano z=0 definido por x^2+y^2=y. O conteúdo é mudança para coordenadas polares e cálculo de integral dupla sobre a região do disco.

Passo 2

Vamos descrever a região D no plano xy. Em coordenadas polares temos x=rcostheta e y=rsintheta. A equação do círculo-limite é
r^2=rsinthetaimplies r=sintheta,
com r>=0 e sintheta>=0, logo thetain[0,pi] e rin[0,sintheta].

Passo 3

O volume é dado por
V=integral duplaD(12-6x-4y),dA
e em polares dA=r,dr,dtheta, então
V=integral0^piintegral0^sinthetal(12-6rcostheta-4rsinthetar),r,dr,dtheta

Passo 4

Agora integramos primeiro em r:
integral0^sintheta(12r-6r^2costheta-4r^2sintheta),dr =6sin^2theta -2costhetasin^3theta -43sin^4theta

Passo 5

O termo com costhetasin^3theta desaparece ao integrar de 0 a pi porque é uma derivada exata em theta. Fica assim
V=integral0^pil(6sin^2theta-tfrac43sin^4thetar)dtheta

Passo 6

Usamos as fórmulas integral0^pisin^2theta,dtheta=tfracpi2 e integral0^pisin^4theta,dtheta=tfrac3pi8. Então
V=6cdotpi2-43cdot3pi8=3pi-pi2=5pi2

Resposta

5pi2

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