Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule-a.
integral0^2 pi integral0^2 integral0^4-r^2 r d z d r d theta

Passo 1

Essa questão entra no conteúdo de coordenadas cilíndricas e cálculo de volume por integral tripla. A gente precisa esboçar o sólido descrito em coordenadas cilíndricas pela integral integral0^2pi!integral0^2!integral0^4-r^2 r,dz,dr,dtheta e depois calcular esse volume.

Passo 2

Para esboçar, observe que em coordenadas cilíndricas a base no plano z=0 é o círculo de raio 2 (pois r vai de 0 até 2). A superfície superior é o paraboloide circular definido por z=4-r^2. Então temos um “chapéu” de volume abaixo desse paraboloide, acima do plano z=0, com raio máximo r=2.

Passo 3

Para calcular, começamos integrando em z. Dentro da integral tripla aparece r como fator, então

Passo 4

Agora integramos em r:

Passo 5

Por fim, integramos em theta de 0 a 2pi:

Resposta

O volume é 8pi.

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