Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule-a.
Passo 1
Essa questão entra no conteúdo de coordenadas cilíndricas e cálculo de volume por integral tripla. A gente precisa esboçar o sólido descrito em coordenadas cilíndricas pela integral
e depois calcular esse volume.
Passo 2
Para esboçar, observe que em coordenadas cilíndricas a base no plano
é o círculo de raio
(pois
vai de 0 até 2). A superfície superior é o paraboloide circular definido por
. Então temos um “chapéu” de volume abaixo desse paraboloide, acima do plano
, com raio máximo
.
Passo 3
Para calcular, começamos integrando em
. Dentro da integral tripla aparece
como fator, então
Passo 4
Agora integramos em
:
Passo 5
Por fim, integramos em
de 0 a
:
Resposta
O volume é
.