Use a integral tripla para determinar o volume do sólido limitado pelo cilindro
e pelos planos
. Faça um esboço do sólido em questão.
Passo 1
O exercício pede o volume do sólido limitado pelo cilindro x=y^2 e pelos planos z=0 e x+z=1 usando integral tripla. Vamos usar projeção no plano xy e o Teorema de Fubini para montar e calcular a integral.
Passo 2
Para encontrar a projeção D no plano xy, note que z varia entre 0 e 1−x, então é preciso ter 1−x≥0 ⇒ x≤1. O cilindro x=y^2 impõe x≥y^2. Logo
Passo 3
Montamos então a integral tripla seguindo a ordem dz,dx,dy:
Passo 4
Primeiro integramos em z:
Passo 5
Substituindo na integral dupla:
Passo 6
Agora integramos em x:
Passo 7
Como o integrando é par em y, usamos simetria e integramos de 0 a 1 multiplicando por 2:
Passo 8
Para esboçar o sólido, desenhe no plano xy a parábola x=y^2 para y∈[−1,1], levante esse contorno ao longo de z desde z=0 até a interseção com o plano x+z=1 (reta que em x=1 dá z=0 e em x=0 dá z=1). O sólido fica entre o piso z=0, o teto inclinado z=1−x e as paredes parabólicas.