Use a integral tripla para determinar o volume do sólido limitado pelo cilindro x=y^2 e pelos planos z=0 e x+z=1. Faça um esboço do sólido em questão.

Passo 1

O exercício pede o volume do sólido limitado pelo cilindro x=y^2 e pelos planos z=0 e x+z=1 usando integral tripla. Vamos usar projeção no plano xy e o Teorema de Fubini para montar e calcular a integral.

Passo 2

Para encontrar a projeção D no plano xy, note que z varia entre 0 e 1−x, então é preciso ter 1−x≥0 ⇒ x≤1. O cilindro x=y^2 impõe x≥y^2. Logo
D=(x,y):y^2<= x<=1, y^2<=1Rightarrow yin[-1,1]

Passo 3

Montamos então a integral tripla seguindo a ordem dz,dx,dy:
V=integraly=-1^1integralx=y^2^1integralz=0^1-xdz,dx,dy

Passo 4

Primeiro integramos em z:
integral0^1-xdz=1-x

Passo 5

Substituindo na integral dupla:
V=integral-1^1integraly^2^1(1-x),dx,dy

Passo 6

Agora integramos em x:
integraly^2^1(1-x),dx=l[x-x^22r]y^2^1=12-y^2+y^42

Passo 7

Como o integrando é par em y, usamos simetria e integramos de 0 a 1 multiplicando por 2:
V=2integral0^1l(12-y^2+y^42r)dy=2l[12y-y^33+y^510r]0^1=815

Passo 8

Para esboçar o sólido, desenhe no plano xy a parábola x=y^2 para y∈[−1,1], levante esse contorno ao longo de z desde z=0 até a interseção com o plano x+z=1 (reta que em x=1 dá z=0 e em x=0 dá z=1). O sólido fica entre o piso z=0, o teto inclinado z=1−x e as paredes parabólicas.

Resposta

815

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