Seja f(x, y, z)=(e^x-1, y(x-1)x^2-1, 3 x z). Determine lim (x, y z) (1,2.1) f(x, y, z).
Opções:
(1,2,1)
(1,1,1)
(1,2,3)
(1,1,3)
(0,1,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A gente tem uma função vetorial f(x, y, z) = (e^x-1, y(x-1)x^2-1, 3xz) e precisamos encontrar o limite dessa função quando (x, y, z) se aproxima de (1, 2, 1). Para isso, vamos usar conceitos de limites em funções multivariáveis e simplificar cada componente da função para achar o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira componente da função: e^x-1. Sabemos que a função exponencial é contínua, o que significa que o limite dela é simplesmente o valor da função no ponto. Então, quando x se aproxima de 1:
limx to 1 e^x-1 = e^1-1 = e^0 = 1

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: y(x-1)x^2-1. Aqui, temos uma expressão um pouco mais complicada. Primeiro, note que x^2 - 1 pode ser fatorado:
x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)
Então, substituindo na fração:
y(x-1)x^2-1 = y(x-1)(x - 1)(x + 1) = yx + 1
Nesse ponto, podemos ver que o termo (x - 1) cancela, o que simplifica muito a expressão. Agora, calculamos o limite substituindo x por 1 e y por 2:
lim(x, y) to (1, 2) yx + 1 = 21 + 1 = 22 = 1

Passo 4

Por fim, vamos analisar a terceira componente da função: 3xz. Essa é uma função polinomial e, assim como a função exponencial, é contínua. Portanto, podemos simplesmente substituir x por 1 e z por 1:
lim(x, z) to (1, 1) 3xz = 3 times 1 times 1 = 3

Resposta

O limite de f(x, y, z) quando (x, y, z) (1, 2, 1) é (1,,1,,3).

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