Seja
. Determine
.
Opções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A gente tem uma função vetorial
e precisamos encontrar o limite dessa função quando
se aproxima de
. Para isso, vamos usar conceitos de limites em funções multivariáveis e simplificar cada componente da função para achar o resultado.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a primeira componente da função:
. Sabemos que a função exponencial é contínua, o que significa que o limite dela é simplesmente o valor da função no ponto. Então, quando
se aproxima de 1:
Passo 3
Agora, vamos para a segunda componente:
. Aqui, temos uma expressão um pouco mais complicada. Primeiro, note que
pode ser fatorado:
Então, substituindo na fração:
Nesse ponto, podemos ver que o termo
cancela, o que simplifica muito a expressão. Agora, calculamos o limite substituindo
por 1 e
por 2:
Passo 4
Por fim, vamos analisar a terceira componente da função:
. Essa é uma função polinomial e, assim como a função exponencial, é contínua. Portanto, podemos simplesmente substituir
por 1 e
por 1:
Resposta
O limite de
quando
é
.