Dado f(x, y)=y^{3} e^{-5 x}, determine
f_{y y x x}(0,1)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=y^{3}e^{-5x} e pede para determinar o valor de f_{y y x x}(0,1).
Informações fornecidas:
  • A função é f(x,y)=y^{3}e^{-5x}.
  • O que se deve calcular é a derivada parcial de quarta ordem indicada por f_{y y x x}, avaliada no ponto (x,y)=(0,1).

Passo 2

Entendendo o que significa cada derivada: f_{y} é a derivada parcial de f em relação a y (tratando x como constante). Como f(x,y)=y^{3}\cdot e^{-5x} é produto de uma parte que depende só de y e outra que depende só de x, ao derivar em y o fator e^{-5x} é constante. Assim,
f_{y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{3}e^{-5x}\bigr)=\bigl(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}y^{3}\bigr)e^{-5x}=3y^{2}e^{-5x}.

Passo 3

Agora calculamos a segunda derivada parcial em relação a y, isto é f_{yy}=\dfrac{\partial}{\partial y}(f_{y}). Derivando 3y^{2} em relação a y obtemos 6y, e o fator e^{-5x} permanece constante:
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3y^{2}e^{-5x}\bigr)=6y\,e^{-5x}.

Passo 4

Em seguida precisamos das derivadas em x. Primeiro derivamos f_{yy} em relação a x (tratando y como constante). A derivada de e^{-5x} em relação a x é -5e^{-5x}. Logo,
f_{yyx}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(6y\,e^{-5x}\bigr)=6y\cdot(-5)e^{-5x}=-30y\,e^{-5x}.

Passo 5

Finalmente derivamos novamente em relação a x para obter f_{yyxx}. Aplicando a mesma regra ( \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^{-5x}=-5e^{-5x}) sobre -30y\,e^{-5x} (com y constante):
f_{yyxx}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-30y\,e^{-5x}\bigr)=-30y\cdot(-5)e^{-5x}=150y\,e^{-5x}.

Passo 6

Agora avaliaremos no ponto (0,1). Substituindo x=0 e y=1 em f_{yyxx}=150y\,e^{-5x}:
f_{yyxx}(0,1)=150\cdot 1\cdot e^{-5\cdot 0}=150\cdot 1\cdot 1=150.

Resposta

150

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