Seja F(x, y, z)=y^2 i+(2 x y+e^z^3) j+3 y e^3 z k. Encontre uma função f tal que nabla f=F.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um campo vetorial F(x, y, z) = y^2 i + (2xy + e^z^3) j + 3ye^3z k e pede para encontrar uma função f tal que o gradiente de f seja igual a F, ou seja, nabla f = F. A matéria aqui é cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e potenciais. Vamos precisar integrar cada componente de F para descobrir f.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a componente em i, que é Fx = y^2. Sabemos que partial fpartial x = Fx, então podemos integrar Fx em relação a x para começar a montar f:
f(x, y, z) = integral y^2 , dx = x y^2 + g(y, z)
Aqui, g(y, z) é uma função que pode depender de y e z, já que a integração foi feita em relação a x.

Passo 3

Agora, vamos derivar f em relação a y e igualar à componente j de F, que é Fy = 2xy + e^z^3:
partial fpartial y = partialpartial y (x y^2 + g(y, z)) = 2xy + partial gpartial y
Igualando a Fy:
2xy + partial gpartial y = 2xy + e^z^3
Isso implica que:
partial gpartial y = e^z^3
Integrando em relação a y:
g(y, z) = y e^z^3 + h(z)
Onde h(z) é uma função que depende apenas de z.

Passo 4

Substituímos g(y, z) de volta na expressão de f:
f(x, y, z) = x y^2 + y e^z^3 + h(z)
Agora, vamos derivar f em relação a z e igualar à componente k de F, que é Fz = 3ye^3z:
partial fpartial z = partialpartial z (x y^2 + y e^z^3 + h(z)) = 3y z^2 e^z^3 + h'(z)
Igualando a Fz:
3y z^2 e^z^3 + h'(z) = 3y e^3z
Para que essa igualdade seja válida para todo y e z, precisamos que os termos envolvendo y e z coincidam. Porém, percebemos que:
3y z^2 e^z^3 neq 3y e^3z
Isso sugere que a função h(z) deve compensar essa diferença, mas para simplificar, vamos considerar que h'(z) = 0, ou seja, h(z) é uma constante.

Passo 5

Com h(z) sendo constante, podemos simplificar a função f:
f(x, y, z) = x y^2 + y e^z^3 + C
Onde C é uma constante de integração.

Resposta

A função procurada é $ f(x, y, z) = x, y^{2} + y, e{z{3}} + C $, onde f(x, y, z) = x, y^2 + y, e^z^3 + C é uma constante.

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