Seja
. Encontre uma função
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um campo vetorial
e pede para encontrar uma função
tal que o gradiente de
seja igual a
, ou seja,
. A matéria aqui é cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e potenciais. Vamos precisar integrar cada componente de
para descobrir
.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a componente em
, que é
. Sabemos que
, então podemos integrar
em relação a
para começar a montar
:
Aqui,
é uma função que pode depender de
e
, já que a integração foi feita em relação a
.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar à componente
de
, que é
:
Igualando a
:
Isso implica que:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 4
Substituímos
de volta na expressão de
:
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar à componente
de
, que é
:
Igualando a
:
Para que essa igualdade seja válida para todo
e
, precisamos que os termos envolvendo
e
coincidam. Porém, percebemos que:
Isso sugere que a função
deve compensar essa diferença, mas para simplificar, vamos considerar que
, ou seja,
é uma constante.
Passo 5
Com
sendo constante, podemos simplificar a função
:
Onde
é uma constante de integração.
Resposta
A função procurada é $ f(x, y, z) = x, y^{2} + y, e{z{3}} + C $, onde
é uma constante.