seja f(x, y, z)=y e^x z calcule nabla f(x, y, 2)

Passo 1

Resumo: Temos a função f(x,y,z)=y e^{x z}. O conteúdo é cálculo de gradiente, ou seja, precisamos encontrar todas as derivadas parciais de f em relação a x, y e z, e depois avaliar em z=2.

Passo 2

Definição de gradiente: O gradiente de f é o vetor formado pelas derivadas parciais: ∇f(x,y,z)=(∂f/∂x,∂f/∂y,∂f/∂z).

Passo 3

Cálculo de ∂f/∂x: Como f(x,y,z)=y e^{x z}, tratamos y como constante e usamos cadeia:
∂f∂x=ycdotddx(e^x,z)=ycdot(z,e^x,z)=y,z,e^x,z

Passo 4

Cálculo de ∂f/∂y: Agora x e z são constantes, e f é linear em y:
∂f∂y=e^x,z

Passo 5

Cálculo de ∂f/∂z: Tratamos y como constante e aplicamos cadeia em e^{x z}:
∂f∂z=ycdotddz(e^x,z)=ycdot(x,e^x,z)=x,y,e^x,z

Passo 6

Montando o gradiente geral:
nabla f(x,y,z)=(y,z,e^x,z,;e^x,z,;x,y,e^x,z)

Passo 7

Avaliação em z=2: basta substituir z por 2 no vetor:
nabla f(x,y,2)=(2y,e^2x,;e^2x,;x,y,e^2x)

Resposta

nabla f(x,y,2)=(2y,e^2x,;e^2x,;x,y,e^2x)

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