Use a Fórmula de Taylor para f(x, y) na origem, para encontrar aproximações quadráticas de f próximo da origem. Estime os erros de aproximação, se |x| <= 0,1 e |y| <= 0,1 em cada item.
f(x, y)=e^y cos y;

Passo 1

O enunciado pede a expansão de Taylor de ordem dois de f(x,y)=e^y,cos y em torno da origem e uma estimativa do erro quando |x|≤0,1 e |y|≤0,1. O conteúdo aqui é a fórmula de Taylor multinomial de segunda ordem e o resto de Lagrange.

Passo 2

Vamos achar primeiro as derivadas parciais de primeira ordem. Como f(x,y) não depende de x, temos: fx(x,y)=0 Para a derivada em y: fy(x,y)=partialpartial y(e^ycos y)=e^ycos y - e^ysin y Avaliando na origem: fx(0,0)=0, fy(0,0)=1cdot1-1cdot0=1

Passo 3

Agora as derivadas parciais de segunda ordem. De novo f_x=0 implica fxx(x,y)=0, fxy(x,y)=0 Para f_{yy}: já que f_y=e^y(\cos y-\sin y), temos fyy(x,y)=ddyl[e^y(cos y-sin y)r]=-2e^ysin y Avaliando na origem: fyy(0,0)=-2cdot1cdot0=0

Passo 4

Com tudo isso, o polinômio de Taylor de segunda ordem em (0,0) é
T2(x,y)=f(0,0)+fx(0,0)x+fy(0,0)y+12l(fxx(0,0)x^2+2fxy(0,0)xy+fyy(0,0)y^2r)

Passo 5

Substituindo os valores: f(0,0)=e^0cos0=1, e as derivadas acima, obtemos T2(x,y)=1+1cdot y+12(0+0+0)=1+y

Passo 6

Para estimar o erro usamos o resto de Lagrange de ordem 2. Como f depende só de y, basta olhar a derivada de terceira ordem em y:
fyyy(y)=ddy(-2e^ysin y)=-2e^y(sin y+cos y)

Passo 7

No intervalo |y|≤0,1 temos ey≤e{0.1}≈1,105 e |\sin y+\cos y|≤|\sin0.1|+|\cos0.1|≈0,0998+0,9950≈1,0948. Logo
|fyyy(y)|<=2cdot1,105cdot1,0948approx2,42

Passo 8

O resto satisfaz
|R2(x,y)|<=M6|y|^3<=2,426(0,1)^3approx4,03times10^-4

Resposta

A aproximação quadrática é T2(x,y)=1+y e o erro fica limitado por |R2(x,y)|<=4,03times10^-4 para |x|,|y|\le0,1.

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