Use a Fórmula de Taylor para
na origem, para encontrar aproximações quadráticas de
próximo da origem. Estime os erros de aproximação, se
e
em cada item.
;
Passo 1
O enunciado pede a expansão de Taylor de ordem dois de f(x,y)=e^y,cos y em torno da origem e uma estimativa do erro quando |x|≤0,1 e |y|≤0,1. O conteúdo aqui é a fórmula de Taylor multinomial de segunda ordem e o resto de Lagrange.
Passo 2
Vamos achar primeiro as derivadas parciais de primeira ordem. Como f(x,y) não depende de x, temos:
Para a derivada em y:
Avaliando na origem:
Passo 3
Agora as derivadas parciais de segunda ordem. De novo f_x=0 implica
Para f_{yy}: já que f_y=e^y(\cos y-\sin y), temos
Avaliando na origem:
Passo 4
Com tudo isso, o polinômio de Taylor de segunda ordem em (0,0) é
Passo 5
Substituindo os valores:
e as derivadas acima, obtemos
Passo 6
Para estimar o erro usamos o resto de Lagrange de ordem 2. Como f depende só de y, basta olhar a derivada de terceira ordem em y:
Passo 7
No intervalo |y|≤0,1 temos ey≤e{0.1}≈1,105 e |\sin y+\cos y|≤|\sin0.1|+|\cos0.1|≈0,0998+0,9950≈1,0948. Logo
Passo 8
O resto satisfaz
Resposta
A aproximação quadrática é
e o erro fica limitado por
para |x|,|y|\le0,1.