Seja F(x, y, z)=y^2 z^3 i+2 x y z^3 j+3 x y^2 z^2 k então
Calcule div F

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial F(x,y,z)=y^2z^3,i+2xyz^3,j+3xy^2z^2,k e pede a divergência de F. O conteúdo aqui é divergência de um campo vetorial em R^3, e vamos precisar usar a definição div,F=partial Fx/partial x+partial Fy/partial y+partial Fz/partial z.

Passo 2

Lembrando a definição de divergência:
$$\mathrm{div},\mathbf{F}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y{2}z{3}\bigr)+\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2xyz^{3}\bigr)+\frac{\partial}{\partial z}\bigl(3xy{2}z{2}\bigr).
$$

Passo 3

Agora calculamos cada derivada parcial:
  • partialpartial x(y^2z^3)=0, pois não há x na expressão.
  • partialpartial y(2xyz^3)=2xz^3, tratando x e z como constantes.
  • partialpartial z(3xy^2z^2)=3xy^2cdot2z=6xy^2z.

Passo 4

Somando os resultados:
div,F=0+2xz^3+6xy^2z=2xz^3+6xy^2z
Podemos fatorar 2xz para deixar mais compacto:
$$\mathrm{div},\mathbf{F}=2xz\bigl(z{2}+3y{2}\bigr).
$$

Resposta

div,F=2xz^3+6xy^2z=2xz,(z^2+3y^2).

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