Seja f(z)=1z(z^2+1).
(a) Determine a série de Laurent de f(z) na região 0<|z|<1.
(b) Determine a série de Laurent de f(z) na região 1<|z|.

Passo 1

Resumindo o enunciado, queremos a série de Laurent de f(z)=1z(z^2+1) em duas regiões: 0<|z|<1 e 1<|z|<∞. O conteúdo envolvido é decomposição em frações parciais e expansão em séries de potências para funções de variável complexa.

Passo 2

Começamos pela decomposição em frações parciais. Procuramos constantes A,B,C tais que
1z(z^2+1)= A z+ Bz-i+ Cz+i
Multiplicando por z(z-i)(z+i) e comparando coeficientes ou avaliando em z=0,,i,,-i, obtemos A=1 e B=C=-tfrac12. Logo
f(z)=1z-1/2z-i-1/2z+i

Passo 3

Para 0<|z|<1, expandimos em potências de z. Usamos
1z-i=-1i11- zi=-1isumn=0^inftyl( zir)^n,
1z+i=1i11+ zi=1isumn=0^infty(-1)^nl( zir)^n
Substituindo em f(z) e reunindo termos, nota-se que só aparecem potências ímpares de z.

Passo 4

Ao simplificar, chega-se à série de Laurent em 0<|z|<1:
f(z)=1z+sumk=0^infty(-1)^k+1z^2k+1= rac1z - z + z^3 - z^5 + cdots

Passo 5

Para 1<|z|<∞, expandimos agora em potências de 1/z:
1z-i=1z11- i z=1zsumn=0^inftyl( i zr)^n,
1z+i=1z11+ i z=1zsumn=0^infty(-1)^nl( i zr)^n
Substituindo em f(z) e simplificando, ficam apenas termos ímpares em potências negativas de z.

Passo 6

Concluímos que, para 1<|z|<∞, a série de Laurent é
f(z)=sumk=1^infty(-1)^k+11z^2k+1=1z^3-1z^5+1z^7-cdots

Resposta

Para 0<|z|<1:
f(z)=1z - z + z^3 - z^5 + cdots
Para 1<|z|<∞:
f(z)=1z^3 - 1z^5 + 1z^7 - cdots

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