Seja
.
(a) Determine a série de Laurent de
na região
.
(b) Determine a série de Laurent de
na região
.
(a) Determine a série de Laurent de
(b) Determine a série de Laurent de
Passo 1
Resumindo o enunciado, queremos a série de Laurent de
em duas regiões: 0<|z|<1 e 1<|z|<∞. O conteúdo envolvido é decomposição em frações parciais e expansão em séries de potências para funções de variável complexa.
Passo 2
Começamos pela decomposição em frações parciais. Procuramos constantes
tais que
Multiplicando por
e comparando coeficientes ou avaliando em
, obtemos
e
. Logo
Passo 3
Para 0<|z|<1, expandimos em potências de
. Usamos
Substituindo em
e reunindo termos, nota-se que só aparecem potências ímpares de
.
Passo 4
Ao simplificar, chega-se à série de Laurent em 0<|z|<1:
Passo 5
Para 1<|z|<∞, expandimos agora em potências de
:
Substituindo em
e simplificando, ficam apenas termos ímpares em potências negativas de
.
Passo 6
Concluímos que, para 1<|z|<∞, a série de Laurent é
Resposta
Para 0<|z|<1:
Para 1<|z|<∞: