Seja f(z)=\frac{1}{z^{2}+1}. Determine os coeficientes da série de Laurent de f(z) em 1<|z|<\infty.
Passo 1
O enunciado pede: determinar os coeficientes da série de Laurent de f(z)=\frac{1}{z^{2}+1} na região \;1<|z|<\infty.\n
Informações dadas e claras aqui:
f(z)=\frac{1}{z^{2}+1}
A região onde a série deve convergir é o anel centrado em 0 com |z|>1. Não há outras informações ocultas: queremos a expansão em potências de z (que, numa região externa como essa, será uma série em potências negativas de z).
Passo 2
Primeiro, uma aula rápida e prática sobre séries de Laurent (modo amigo, sem mistério). A série de Laurent de uma função centrada em 0 tem a forma
\sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k z^{k},
onde os a_k são coeficientes complexos. Na região externa |z|>R a série normalmente aparece com potências negativas de z (isto é, em termos de 1/z). Uma ferramenta muito útil é a série geométrica:
Agora note que, para |z|>1, temos \left|\tfrac{1}{z^{2}}\right|<1, logo podemos usar a série geométrica com w=-\tfrac{1}{z^{2}} (porque \tfrac{1}{1+u}=\tfrac{1}{1-(-u)}):
Essa é a série de Laurent centrada em 0 que converge para |z|>1. Repare que só aparecem potências negativas, começando em z^{-2}, z^{-4}, z^{-6}, e assim por diante.
Passo 5
Agora traduzimos a série para os coeficientes a_k da forma \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k z^{k}. Da expressão
\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} z^{-(2n+2)}
vemos que:
Para cada n\ge 0 o termo corresponde à potência k=-(2n+2) com coeficiente a_{-(2n+2)} = (-1)^{n}.
Para quaisquer outros inteiros k (isto é, para k não da forma -(2n+2)), o coeficiente é zero.
Em palavras: apenas as potências negativas pares a partir de -2 aparecem, com sinais alternados.
Passo 6
Escrevendo o resultado de modo compacto e útil para a prova:
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} z^{-(2n+2)},\qquad \text{válido para }|z|>1.á