Seja f(z)=\frac{1}{z^{2}+1}. Determine os coeficientes da série de Laurent de f(z) em 1<|z|<\infty.

Passo 1

O enunciado pede: determinar os coeficientes da série de Laurent de f(z)=\frac{1}{z^{2}+1} na região \;1<|z|<\infty.\n
Informações dadas e claras aqui:
f(z)=\frac{1}{z^{2}+1}
A região onde a série deve convergir é o anel centrado em 0 com |z|>1. Não há outras informações ocultas: queremos a expansão em potências de z (que, numa região externa como essa, será uma série em potências negativas de z).

Passo 2

Primeiro, uma aula rápida e prática sobre séries de Laurent (modo amigo, sem mistério). A série de Laurent de uma função centrada em 0 tem a forma
\sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k z^{k},
onde os a_k são coeficientes complexos. Na região externa |z|>R a série normalmente aparece com potências negativas de z (isto é, em termos de 1/z). Uma ferramenta muito útil é a série geométrica:
\frac{1}{1-w}=\sum_{n=0}^{\infty} w^{n}\qquad\text{quando }\;|w|<1.
Vamos aplicar isso escolhendo w apropriado de forma a obter uma série em 1/z que converge para |z|>1.

Passo 3

Manipulação algébrica simples para colocar f(z) no formato de uma série geométrica em 1/z. Escrevo
f(z)=\frac{1}{z^{2}+1}=\frac{1}{z^{2}}\cdot\frac{1}{1+\tfrac{1}{z^{2}}}.
Agora note que, para |z|>1, temos \left|\tfrac{1}{z^{2}}\right|<1, logo podemos usar a série geométrica com w=-\tfrac{1}{z^{2}} (porque \tfrac{1}{1+u}=\tfrac{1}{1-(-u)}):
\frac{1}{1+\tfrac{1}{z^{2}}}=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\left(\frac{1}{z^{2}}\right)^{n}.
Multiplicando pelo \tfrac{1}{z^{2}} que já estava fora, obtemos a expansão buscada.

Passo 4

Fazendo a multiplicação do passo anterior:
f(z)=\frac{1}{z^{2}}\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\frac{1}{z^{2n}} =\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} z^{-(2n+2)}.
Essa é a série de Laurent centrada em 0 que converge para |z|>1. Repare que só aparecem potências negativas, começando em z^{-2}, z^{-4}, z^{-6}, e assim por diante.

Passo 5

Agora traduzimos a série para os coeficientes a_k da forma \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k z^{k}. Da expressão
\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} z^{-(2n+2)}
vemos que:
  • Para cada n\ge 0 o termo corresponde à potência k=-(2n+2) com coeficiente a_{-(2n+2)} = (-1)^{n}.
  • Para quaisquer outros inteiros k (isto é, para k não da forma -(2n+2)), o coeficiente é zero.
Em palavras: apenas as potências negativas pares a partir de -2 aparecem, com sinais alternados.

Passo 6

Escrevendo o resultado de modo compacto e útil para a prova:
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} z^{-(2n+2)},\qquad \text{válido para }|z|>1.á
E a fórmula dos coeficientes a_k é:
a_k=\begin{cases} (-1)^{n}, & \text{se } k=-(2n+2)\text{ para algum }n\in\{0,1,2,\dots\},\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á]

Resposta

f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} z^{-(2n+2)}\quad\text{para }|z|>1
a_k= \begin{cases} (-1)^{n}, & \text{se }k=-(2n+2)\text{ com }n\ge 0,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á]

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