Use a Fórmula de Integral de Cauchy para calcular \int_{l} f(z) dz onde l é o círculo |z-1|=2 orientado positivamente.

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \int_{l} f(z)\,dz, onde l é o círculo \lvert z-1\rvert=2 orientado positivamente. As informações explícitas são:
  • A curva l é o círculo centrado em 1 e de raio 2, orientado positivamente (no sentido anti-horário).
  • A integranda aparece como f(z), mas o problema não fornece uma expressão explícita para f.
Observação importante: a informação sobre a função f (se é holomorfa na região interior ao círculo, se tem singularidades, qual a sua forma, etc.) é essencial para calcular a integral. Não foi dada no enunciado.

Passo 2

O que a Fórmula/Teorema de Cauchy nos diz (versão básica que usamos aqui): se uma função f é holomorfa (analítica) em uma vizinhança aberta que contém uma curva fechada simples orientada positivamente e o interior dessa curva, então a integral de f ao longo dessa curva é zero. Em símbolos:
\text{Se } f \text{ é holomorfa em e sobre } \overline{D}, \text{ então } \int_{\partial D} f(z)\,dz = 0.éã
Explicando termos:
  • “Holomorfa” significa que f tem derivada complexa em todo ponto daquela região (é a versão complexa de ser diferenciável infinitamente localmente).
  • A condição "em e sobre \overline{D}" quer dizer que f é holomorfa na região interior do círculo e também em um pequeno entorno da própria curva, ou seja, na bola fechada \{z:\lvert z-1\rvert\le 2\}.
  • Esse resultado é conhecido como Teorema Integral de Cauchy (ou consequência direta dele).

Passo 3

Como aplicar isso ao nosso caso: o círculo l é a fronteira da disco fechado
\overline{D}=\{z:\lvert z-1\rvert\le 2\}.
Se o problema implicitamente assume que f é holomorfa em toda a região que contém \overline{D}, então podemos aplicar diretamente o Teorema de Cauchy e concluir que
\int_{l} f(z)\,dz = 0.
No contexto de prova/exame: ao ver uma integral \int_{\text{curva}} f(z)\,dz e uma curva fechada, o primeiro passo é verificar se f é holomorfa no interior e sobre a curva. Se for, a integral vale zero — isso é uma ferramenta muito usada pois evita cálculo paramétrico.

Passo 4

Demonstração curta (intuição) — por que é zero quando f é holomorfa: uma função holomorfa tem primitiva (antiderivada) localmente; em um domínio simplesmente conexo onde f é holomorfa existe uma primitiva F tal que F'(z)=f(z). Pelo teorema fundamental do cálculo para integrais de linha complexas, a integral de f sobre uma curva fechada que é contorno de uma região onde F está bem definida é F(\text{ponto final})-F(\text{ponto inicial})=0.

Passo 5

E se f não for holomorfa dentro do círculo? A Fórmula Integral de Cauchy na sua forma mais usada é
\int_{\gamma} \frac{f(z)}{z-a}\,dz = 2\pi i\, f(a),
quando f é holomorfa em e sobre \gamma e a está no interior. Note a diferença: aí a integranda é \dfrac{f(z)}{z-a}, não apenas f(z). Se f tiver singularidades no interior de l, não podemos usar diretamente o Teorema de Cauchy; nesse caso devemos usar o Teorema dos Resíduos, que diz que a integral é 2\pi i vezes a soma das partículas (resíduos) das singularidades interiores. Em resumo:
  • Se f tem singularidades dentro do disco, a integral geralmente não é zero e é calculada via resíduos.
  • Se f é holomorfa no disco fechado, a integral é zero.

Passo 6

Exemplo concreto para fixar a ideia (didático): se f(z)=z^2, então f é polinomial (logo holomorfa em toda a \mathbb{C}), então por Cauchy
\int_{l} z^2\,dz = 0.
Se você quiser, no exame pode também parametrizar l por z(t)=1+2e^{it}, t\in[0,2\pi], e verificar que a integral é zero usando uma primitiva F(z)=z^3/3 ou integrando diretamente — mas a observação pelo Teorema de Cauchy é muito mais rápida.

Passo 7

Conclusão prática para a questão como está escrita: o dado essencial (a forma ou propriedades de f) não foi fornecido. Portanto, a única resposta que podemos dar com certeza é condicional. Se f for holomorfa em e no interior do círculo \{z:\lvert z-1\rvert\le 2\}, então a integral é zero; caso contrário é necessário conhecer as singularidades de f para aplicar o Teorema dos Resíduos ou a Fórmula de Cauchy no formato apropriado.

Resposta

Não é possível determinar sem informação sobre f. Se f for holomorfa em e no interior do círculo \{z:\lvert z-1\rvert\le 2\}, então \displaystyle \int_{l} f(z)\,dz = 0.

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