Seja f(z)=llbarz^3 / z^2, & se z neq 0 0, & caso contrário á Determine se f é derivável no ponto 0.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Análise Complexa. O problema pede para determinar se a função f(z) = z^3z^2, & se z neq 0 0, & caso contrário , definida por
á
é derivável no ponto . Para isso, vamos precisar conhecer o conceito de derivada no contexto dos números complexos e aplicar a definição de derivabilidade para verificar se a derivada existe nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser derivável em um ponto no plano complexo. Uma função limz to z0 f(z) - f(z0)z - z0 é derivável no ponto limz to 0 f(z) - 0z - 0 = limz to 0 f(z)z se o limite
existe e é finito. Esse limite, se existir, é chamado de derivada de em , denotada por .
No nosso caso, queremos verificar se é derivável em . Sabemos que . Então, precisamos calcular o limite

Passo 3

Vamos substituir a expressão de limz to 0 f(z)z = limz to 0 z^3z^2z = limz to 0 z^3z^3 na fórmula do limite:
z^3z^3 = (x - iy)^3(x + iy)^3
Agora, vamos analisar esse limite. Para simplificar, vamos expressar em termos de coordenadas cartesianas: , onde e são números reais, e é a unidade imaginária.
Então, a parte conjugada de é . Vamos substituir isso na expressão:

Passo 4

Vamos expandir tanto o numerador quanto o denominador:
Primeiro, calculamos (x - iy)^3 = x^3 - 3x^2(iy) + 3x(iy)^2 - (iy)^3 = x^3 - 3ix^2y - 3x y^2 i^2 + i^3 y^3 :
x^3 - 3ix^2y + 3x y^2 - i y^3
Sabendo que (x + iy)^3 = x^3 + 3x^2(iy) + 3x(iy)^2 + (iy)^3 = x^3 + 3ix^2y - 3x y^2 - i y^3 e x^3 - 3ix^2y + 3x y^2 - i y^3x^3 + 3ix^2y - 3x y^2 - i y^3 , simplificamos:
Fazendo o mesmo para :
Então, a fração fica:

Passo 5

Para analisar o limite, podemos considerar diferentes caminhos pelos quais x^3x^3 = 1 se aproxima de 0 e verificar se o limite depende do caminho escolhido.
Por exemplo, se aproximarmos - i y^3 - i y^3 = 1 ao longo do eixo real, ou seja, x^3 - 3ix^3k + 3x(kx)^2 - i (kx)^3x^3 + 3ix^3k - 3x(kx)^2 - i (kx)^3 :
x^3(1 - 3ik + 3k^2 - ik^3)x^3(1 + 3ik - 3k^2 - ik^3) = 1 - 3ik + 3k^2 - ik^31 + 3ik - 3k^2 - ik^3
Agora, se aproximarmos ao longo do eixo imaginário, :
Vamos tentar um caminho onde , onde é uma constante real:
Simplificando:
Esse resultado depende do valor de , ou seja, do caminho de aproximação escolhido. Como o limite depende do caminho, ele não existe de forma geral.

Resposta

A função não é derivável no ponto , já que o limite que define a derivada não existe de forma única.

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