Seja
Determine se
é derivável no ponto 0.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Análise Complexa. O problema pede para determinar se a função
, definida por
é derivável no ponto
. Para isso, vamos precisar conhecer o conceito de derivada no contexto dos números complexos e aplicar a definição de derivabilidade para verificar se a derivada existe nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser derivável em um ponto no plano complexo. Uma função
é derivável no ponto
se o limite
existe e é finito. Esse limite, se existir, é chamado de derivada de
em
, denotada por
.
No nosso caso, queremos verificar se
é derivável em
. Sabemos que
. Então, precisamos calcular o limite
Passo 3
Vamos substituir a expressão de
na fórmula do limite:
Agora, vamos analisar esse limite. Para simplificar, vamos expressar
em termos de coordenadas cartesianas:
, onde
e
são números reais, e
é a unidade imaginária.
Então, a parte conjugada de
é
. Vamos substituir isso na expressão:
Passo 4
Vamos expandir tanto o numerador quanto o denominador:
Primeiro, calculamos
:
Sabendo que
e
, simplificamos:
Fazendo o mesmo para
:
Então, a fração fica:
Passo 5
Para analisar o limite, podemos considerar diferentes caminhos pelos quais
se aproxima de 0 e verificar se o limite depende do caminho escolhido.
Por exemplo, se aproximarmos
ao longo do eixo real, ou seja,
:
Agora, se aproximarmos ao longo do eixo imaginário,
:
Vamos tentar um caminho onde
, onde
é uma constante real:
Simplificando:
Esse resultado depende do valor de
, ou seja, do caminho de aproximação escolhido. Como o limite depende do caminho, ele não existe de forma geral.
Resposta
A função
não é derivável no ponto
, já que o limite que define a derivada não existe de forma única.