Use o Teorema Fundamental do Cálculo para mostrar a existência e unicidade de solução para os problemas de valor inicial abaixo:
y^prime(x) & =x^2, em (0,5) y(0) & =2

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um problema de valor inicial com a seguinte equação diferencial:
y'(x) = x^2, & para x in (0,5) y(0) = 2
O objetivo é mostrar que existe uma única solução para esse problema usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Para isso, precisamos entender o que diz esse teorema e como aplicá-lo aqui.

Passo 2

O Teorema Fundamental do Cálculo conecta a derivada e a integral, basicamente dizendo que se uma função tem uma derivada contínua em um intervalo, então existe uma única função primitiva que corresponde a essa derivada nesse intervalo.
No contexto das equações diferenciais, isso significa que se a função que está na derivada (neste caso, x^2) é contínua, então podemos garantir que existe uma solução única para o problema de valor inicial.

Passo 3

Vamos verificar se a função derivada f(x, y) = x^2 é contínua no intervalo dado, que é (0,5). Bem, x^2 é uma função polinomial e sabemos que polinômios são contínuos em todo o seu domínio. Portanto, f(x, y) = x^2 é contínua em (0,5).

Passo 4

Como a fun��ão derivada f(x, y) = x^2 é contínua no intervalo (0,5), o Teorema Fundamental do Cálculo nos garante que existe uma única função y(x) que satisfaz a equação diferencial y'(x) = x^2 com a condição inicial y(0) = 2.

Resposta

Portanto, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, existe e é única a solução para o problema de valor inicial dado:
y(x) = x^33 + 2

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