Use o Teorema Fundamental do Cálculo para mostrar a existência e unicidade de solução para os problemas de valor inicial abaixo:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um problema de valor inicial com a seguinte equação diferencial:
O objetivo é mostrar que existe uma única solução para esse problema usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Para isso, precisamos entender o que diz esse teorema e como aplicá-lo aqui.
Passo 2
O Teorema Fundamental do Cálculo conecta a derivada e a integral, basicamente dizendo que se uma função tem uma derivada contínua em um intervalo, então existe uma única função primitiva que corresponde a essa derivada nesse intervalo.
No contexto das equações diferenciais, isso significa que se a função que está na derivada (neste caso,
) é contínua, então podemos garantir que existe uma solução única para o problema de valor inicial.
Passo 3
Vamos verificar se a função derivada
é contínua no intervalo dado, que é
. Bem,
é uma função polinomial e sabemos que polinômios são contínuos em todo o seu domínio. Portanto,
é contínua em
.
Passo 4
Como a fun��ão derivada
é contínua no intervalo
, o Teorema Fundamental do Cálculo nos garante que existe uma única função
que satisfaz a equação diferencial
com a condição inicial
.
Resposta
Portanto, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, existe e é única a solução para o problema de valor inicial dado: