Use o Teorema Fundamental do Cálculo para mostrar a existência e unicidade de solução para os problemas de valor inicial abaixo:
ly^prime(x)=x^34+sen(2 x), em (0,4 pi) y(pi)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de valor inicial onde a gente quer mostrar que existe e que só tem uma solução para a equação diferencial dada. A matéria aqui é Cálculo, mais especificamente o Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos precisar verificar se a função que está na equação é contínua no intervalo dado para aplicar o teorema.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação diferencial: . Precisamos checar se o lado direito dessa equação, ou seja, , é uma função contínua no intervalo .

Passo 3

Analisando as partes da função:
  • é um polinômio, e polinômios são sempre contínuos em todo lugar.
  • também é contínua para todo .
    Então, a soma dessas duas funções, , também é contínua no intervalo .

Passo 4

Como a função do lado direito é contínua no intervalo dado e temos uma condição inicial , o Teorema Fundamental do Cálculo nos garante que existe uma solução única para a equação diferencial nesse intervalo.

Resposta

Existe uma única solução para o problema de valor inicial dado no intervalo , conforme o Teorema Fundamental do Cálculo.

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