Use o Teorema Fundamental do Cálculo para mostrar a existência e unicidade de solução para os problemas de valor inicial abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema de valor inicial onde a gente quer mostrar que existe e que só tem uma solução para a equação diferencial dada. A matéria aqui é Cálculo, mais especificamente o Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos precisar verificar se a função que está na equação é contínua no intervalo dado para aplicar o teorema.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a equação diferencial:
. Precisamos checar se o lado direito dessa equação, ou seja,
, é uma função contínua no intervalo
.
Passo 3
Analisando as partes da função:
-
é um polinômio, e polinômios são sempre contínuos em todo lugar. -
também é contínua para todo .
Então, a soma dessas duas funções,, também é contínua no intervalo .
Passo 4
Como a função do lado direito é contínua no intervalo dado e temos uma condição inicial
, o Teorema Fundamental do Cálculo nos garante que existe uma solução única para a equação diferencial nesse intervalo.
Resposta
Existe uma única solução para o problema de valor inicial dado no intervalo
, conforme o Teorema Fundamental do Cálculo.