Mostre que as seguintes funções não são analíticas em nenhum ponto:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função
não é analítica em nenhum ponto. Isso significa que não existe nenhum ponto no qual a função seja diferenciável de forma complexa. Para resolver isso, vamos usar os equações de Cauchy-Riemann, que são fundamentais para determinar se uma função é analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes real e imaginária da função
. Sabemos que
, então:
Comparando com
, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
e
:
Passo 4
As equações de Cauchy-Riemann dizem que, para a função ser analítica, deve valer:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Ou seja:
Passo 5
Vamos verificar se essas condições são satisfeitas simultaneamente:
Existe apenas o ponto
que satisfaz ambas as equações. Isso significa que apenas nesse ponto as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas.
Resposta
Como as condições só são atendidas no ponto
, mas para uma função ser analítica ela precisa satisfazer as equações de Cauchy-Riemann em uma região aberta, concluímos que a função
não é analítica em nenhum ponto.