Mostre que as seguintes funções não são analíticas em nenhum ponto:
f(z)=x y+i y;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função não é analítica em nenhum ponto. Isso significa que não existe nenhum ponto no qual a função seja diferenciável de forma complexa. Para resolver isso, vamos usar os equações de Cauchy-Riemann, que são fundamentais para determinar se uma função é analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes real e imaginária da função f(z) = u(x, y) + i,v(x, y) . Sabemos que u(x, y) = xy e v(x, y) = y , então:
Comparando com , temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de partial upartial x = y partial upartial y = x e partial vpartial x = 0 partial vpartial y = 1 em relação a e :

Passo 4

As equações de Cauchy-Riemann dizem que, para a função ser analítica, deve valer:
partial upartial x = partial vpartial y e partial upartial y = -partial vpartial x
Substituindo as derivadas que encontramos:
y = 1 e x = -0
Ou seja:
y = 1 e x = 0

Passo 5

Vamos verificar se essas condições são satisfeitas simultaneamente:
y = 1 e x = 0
Existe apenas o ponto que satisfaz ambas as equações. Isso significa que apenas nesse ponto as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas.

Resposta

Como as condições só são atendidas no ponto , mas para uma função ser analítica ela precisa satisfazer as equações de Cauchy-Riemann em uma região aberta, concluímos que a função não é analítica em nenhum ponto.

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