Seja
. Fazendo mudança de variáveis
, consideremos
em função de
, temos
. Mostre que:
Passo 1
O enunciado define
e faz a mudança de variáveis
de modo que
. Precisamos usar a regra da cadeia de segunda ordem para expressar as derivadas parciais
,
e
em função das derivadas de
, isto é,
,
,
,
e
.
Passo 2
Começamos pelas derivadas de primeira ordem de
. Aplicando a regra da cadeia:
Passo 3
Agora calculamos
. Usando novamente a cadeia em cada termo de
e
:
Como
e
, e
, vem
Passo 4
Para
:
Aqui
e
, logo
Passo 5
Finalmente
:
Com
e
e
, obtém-se