Seja z=f(x, y). Fazendo mudança de variáveis v=x+2 y, w=2 x+3 y, consideremos z em função de v, w, temos z=g(v, w). Mostre que:
\begin{gathered} f_{x x}=g_{v v}+4 g_{v w}+4 g_{w w} \\ f_{x y}=2 g_{v v}+7 g_{v w}+6 g_{w w} \\ f_{y y}=4 g_{v v}+6 g_{v w}+9 g_{w w} \end{gathered}

Passo 1

O enunciado define z=f(x,y) e faz a mudança de variáveis
v = x + 2y,\quad w = 2x + 3y,
de modo que z = g(v,w). Precisamos usar a regra da cadeia de segunda ordem para expressar as derivadas parciais \partial^2 f/\partial x^2, \partial^2 f/\partial x\partial y e \partial^2 f/\partial y^2 em função das derivadas de g, isto é, g_v, g_w, g_{vv}, g_{vw} e g_{ww}.

Passo 2

Começamos pelas derivadas de primeira ordem de f. Aplicando a regra da cadeia:
f_x = g_v\,\frac{\partial v}{\partial x} + g_w\,\frac{\partial w}{\partial x} = g_v + 2\,g_w,
f_y = g_v\,\frac{\partial v}{\partial y} + g_w\,\frac{\partial w}{\partial y} = 2\,g_v + 3\,g_w.

Passo 3

Agora calculamos f_{xx}=\partial(f_x)/\partial x. Usando novamente a cadeia em cada termo de g_v e g_w:
f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}(g_v) + 2\,\frac{\partial}{\partial x}(g_w) = (g_{vv}\,v_x + g_{vw}\,w_x) + 2\,(g_{wv}\,v_x + g_{ww}\,w_x).
Como v_x=1 e w_x=2, e g_{vw}=g_{wv}, vem
f_{xx} = g_{vv} + 2\,g_{vw} + 2\bigl(g_{vw} + 2\,g_{ww}\bigr) = g_{vv} + 4\,g_{vw} + 4\,g_{ww}.

Passo 4

Para f_{xy}=\partial(f_x)/\partial y:
f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}(g_v) + 2\,\frac{\partial}{\partial y}(g_w) = (g_{vv}\,v_y + g_{vw}\,w_y) + 2\,(g_{wv}\,v_y + g_{ww}\,w_y).
Aqui v_y=2 e w_y=3, logo
f_{xy} = 2\,g_{vv} + 3\,g_{vw} + 2\,(2\,g_{vw} + 3\,g_{ww}) = 2\,g_{vv} + 7\,g_{vw} + 6\,g_{ww}.

Passo 5

Finalmente f_{yy}=\partial(f_y)/\partial y:
f_{yy} = 2\,\frac{\partial}{\partial y}(g_v) + 3\,\frac{\partial}{\partial y}(g_w) = 2\,(g_{vv}\,v_y + g_{vw}\,w_y)+3\,(g_{wv}\,v_y + g_{ww}\,w_y).
Com v_y=2 e w_y=3 e g_{vw}=g_{wv}, obtém-se
f_{yy} = 2\,(2\,g_{vv}+3\,g_{vw})+3\,(2\,g_{vw}+3\,g_{ww}) =4\,g_{vv}+12\,g_{vw}+9\,g_{ww}.

Resposta

f_{xx}=g_{vv}+4\,g_{vw}+4\,g_{ww},\quad f_{xy}=2\,g_{vv}+7\,g_{vw}+6\,g_{ww},\quad f_{yy}=4\,g_{vv}+12\,g_{vw}+9\,g_{ww}.

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