Encontre o tipo da equação diferencial parcial (EDP) (hiperbólica, parabólica, elíptica). Se for tipo EDP hiperbólica ou parabólica, passe para forma normal, indicando mudança das variáveis, e resolva. (Mostre os detalhes com contas na questão anterior do que fizer):
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para classificar a equação
como elíptica, parabólica ou hiperbólica. Se for hiperbólica ou parabólica, queremos ainda levar à forma normal por mudança de variáveis características e, por fim, resolver a equação.
Passo 2
Identificamos os coeficientes da parte de segunda ordem na forma geral
aqui
,
e
. O discriminante é
logo a equação é do tipo hiperbólica.
Passo 3
Para encontrar as variáveis características, usamos a equação
ou seja
Isso se fatoriza em
Passo 4
Integramos cada fator para obter duas famílias de características:
-
dá . Chamamos essa constante de , ou seja
-
dá , logo
é constante. Assim escolhemos as novas variáveis
Passo 5
Expressamos
e
em
. Como
temos
Logo
Substituindo em
vem
Passo 6
A forma normal é
Isso significa que
se separa como soma de função de
e função de
, ou seja
onde
e
são arbitrárias. Voltando às variáveis originais,
e
, temos
Resposta
A equação é hiperbólica. Em variáveis características
,
, leva-se à forma normal
e a solução geral é
com
e
funções arbitrárias.