Mostre que 9 divide n^3+(n+1)^3+(n+2)^3, forall n in N.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo ninN, vale
9 mid n^3+(n+1)^3+(n+2)^3
O conteúdo aqui é divisibilidade em polinômios inteiros: vamos expandir a soma, fatorar e mostrar que aparece um fator 9.

Passo 2

Expandindo cada cubo, temos
n^3+(n+1)^3+(n+2)^3 = n^3+l(n^3+3n^2+3n+1r)+l(n^3+6n^2+12n+8r)
Somando termo a termo,
n^3+(n+1)^3+(n+2)^3 =3n^3+9n^2+15n+9

Passo 3

Fatorando 3 em evidência,
3n^3+9n^2+15n+9 =3l(n^3+3n^2+5n+3r)

Passo 4

Agora mostramos que o polinômio dentro do parêntese é múltiplo de 3. Observe que
n^3+3n^2+5n+3 = n,(n^2+3n+2)+3n+3 = n(n+1)(n+2)+3(n+1)
Isto é
n^3+3n^2+5n+3=(n+1)l(n(n+2)+3r)=(n+1)(n^2+2n+3)
Para qualquer n em N, um dos fatores (n+1) ou (n^2+2n+3) é múltiplo de 3:
  • Se nequiv0pmod3, então n^2+2n+3equiv3pmod3.
  • Se nequiv1pmod3, então n^2+2n+3equiv1+2+0equiv0pmod3.
  • Se nequiv2pmod3, então n+1equiv0pmod3.
    Logo (n+1)(n^2+2n+3) é múltiplo de 3.

Passo 5

Concluímos então que
n^3+3n^2+5n+3=3k para algum kinZ,
de modo que
n^3+(n+1)^3+(n+2)^3 =3cdot(3k)=9k

Resposta

Para todo ninN, existe kinZ tal que
n^3+(n+1)^3+(n+2)^3=9k,
ou seja, 9mid n^3+(n+1)^3+(n+2)^3.

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