Mostre que 9 divide
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo
, vale
O conteúdo aqui é divisibilidade em polinômios inteiros: vamos expandir a soma, fatorar e mostrar que aparece um fator
.
Passo 2
Expandindo cada cubo, temos
Somando termo a termo,
Passo 3
Fatorando
em evidência,
Passo 4
Agora mostramos que o polinômio dentro do parêntese é múltiplo de
. Observe que
Isto é
Para qualquer
em
, um dos fatores
ou
é múltiplo de
:
- Se
, então . - Se
, então . - Se
, então .
Logoé múltiplo de .
Passo 5
Concluímos então que
de modo que
Resposta
Para todo
, existe
tal que
ou seja,
.