Seja f(x)=x e^2 x, forall x in R.
(b) Mostre que x e^2 x >=-12 e, forall x in R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos aqui é provar que para toda real $ x $, a função $ f(x) = x e^{2x} $ é maior ou igual a $ -\frac{1}{2e} $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, para encontrar os valores mínimos da função.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função $ f(x) = x e^{2x} $. A derivada nos ajuda a entender onde a função tem pontos de máximo ou mínimo. Vamos usar a regra do produto para derivar $ f(x) $:
f(x) = x e^2x

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, onde a derivada é zero ou não existe. Como $ e^{2x} $ nunca é zero, podemos igualar $ 1 + 2x $ a zero:
e^2x
Então, temos um ponto crítico em $ x = -\frac{1}{2} $.

Passo 4

Para confirmar que esse ponto é um mínimo, podemos observar que a derivada segunda de $ f(x) $ será positiva nesse ponto, indicando que a função está “curvada para cima”:
f(x)
Em $ x = -\frac{1}{2} $:
f''(x) = ddx[e^2x(1 + 2x)] = 2e^2x(1 + 2x) + e^2x(2) = 2e^2x + 4x e^2x + 2e^2x = e^2x(4x + 4)
Então, é um mínimo.

Passo 5

Finalmente, vamos calcular o valor mínimo da função em $ x = -\frac{1}{2} $:
x = -12

Resposta

Portanto, $ x e^{2x} \geq -\frac{1}{2e} $ para todo $ x \in \mathbb{R} $.

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