Seja
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(b) Mostre que
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(b) Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que temos aqui é provar que para toda real $ x $, a função $ f(x) = x e^{2x} $ é maior ou igual a $ -\frac{1}{2e} $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, para encontrar os valores mínimos da função.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função $ f(x) = x e^{2x} $. A derivada nos ajuda a entender onde a função tem pontos de máximo ou mínimo. Vamos usar a regra do produto para derivar $ f(x) $:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, onde a derivada é zero ou não existe. Como $ e^{2x} $ nunca é zero, podemos igualar $ 1 + 2x $ a zero:
Então, temos um ponto crítico em $ x = -\frac{1}{2} $.
Passo 4
Para confirmar que esse ponto é um mínimo, podemos observar que a derivada segunda de $ f(x) $ será positiva nesse ponto, indicando que a função está “curvada para cima”:
Em $ x = -\frac{1}{2} $:
Então, é um mínimo.
Passo 5
Finalmente, vamos calcular o valor mínimo da função em $ x = -\frac{1}{2} $:
Resposta
Portanto, $ x e^{2x} \geq -\frac{1}{2e} $ para todo $ x \in \mathbb{R} $.