Considere o sólido $D$ limitado pela esfera $x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=1$ . Considere a função $f(x, y, z)=z-x y$ definida no sólido $D$ . Determine os valores máximo e mínimo de $f$ no sólido $D$ . Escreva a função Lagrangiana do problema.

Passo 1

O enunciado pede o máximo e o mínimo de

f(x,y,z)=z - xy

no sólido

D

definido por

x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}\le1,

e também a escrita da Lagrangiana para o problema de otimização na fronteira (esfera). Vamos usar primeiro a condição de ponto crítico no interior e depois o método de multiplicadores de Lagrange na fronteira.

Passo 2

Verificamos se há críticos no interior de

D

. Calculamos o gradiente de

f

\nabla f(x,y,z)=\bigl(-y,\,-x,\,1\bigr).

Para um ponto interior

(x,y,z)

ser crítico, precisaríamos de

-y=0,\quad -x=0,\quad 1=0,

o que é impossível. Logo, não há extremos no interior e todos ocorrem na fronteira

x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=1

Passo 3

Na fronteira aplicamos Lagrange. Seja

g(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}-1=0.

A Lagrangiana é

\mathcal{L}(x,y,z,\lambda) = f(x,y,z)\;-\;\lambda\,g(x,y,z).

Passo 4

Escrevendo explicitamente,

\mathcal{L}(x,y,z,\lambda) = z - xy - \lambda\bigl(x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}-1\bigr).

As condições de estacionaridade são

\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}:\; -y \;-\;2\lambda x=0,

\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}:\; -x \;-\;2\lambda y=0,

\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial z}:\; 1 \;-\;2\lambda(z-1)=0,

além de

g(x,y,z)=0

Passo 5

Das duas primeiras equações vem

y=-2\lambda x \quad\text{e}\quad x=-2\lambda y.

Dessas saem dois casos:

Caso A:

x=0

e então

y=0

. Da restrição

(0)^{2}+(0)^{2}+(z-1)^{2}=1

temos

z-1=\pm1

, ou seja

z=2

z=0

Caso B:

\lambda=\pm\frac12

Se $\lambda=\tfrac12$ , então $y=-x$ e da eq.\ em $z$ vem $z=2$ . A restrição força $x=y=0$ .
Se $\lambda=-\tfrac12$ , então $y=x$ e da eq.\ em $z$ vem $z=0$ . A restrição força $x=y=0$ .

Em todos os casos só surgem dois pontos:

(0,0,2) \quad\text{e}\quad (0,0,0).

Passo 6

Calculamos

f

nesses pontos:

f(0,0,2)=2-0=2, \qquad f(0,0,0)=0-0=0.

Portanto o máximo de

f

D

2

(ocorre em

(0,0,2)

) e o mínimo é

0

(ocorre em

(0,0,0)

Resposta

Lagrangiana:

\displaystyle \mathcal{L}(x,y,z,\lambda) = z - xy - \lambda\bigl(x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}-1\bigr).

Máximo de

f

D

2

.
Mínimo de

f

D

0

Considere o sólido D limitado pela esfera x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=1. Considere a função f(x, y, z)=z-x y definida no sólido D. Determine os valores máximo e mínimo de f no sólido D. Escreva a função Lagrangiana do problema.