- Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que a equação
tem exatamente uma raiz real.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a equação
tem exatamente uma solução real, usando o Teorema do Valor Médio (e seu caso particular, o Teorema de Rolle). Aqui o conteúdo é análise de funções reais: continuidade, derivabilidade e monotonicidade via derivada.
Passo 2
Definimos
Vemos que
é contínua e derivável em
. Calculamos sua derivada:
Como
para todo
, segue que
para todo
. Portanto
é estritamente positiva.
Passo 3
Pela positividade de
, para quaisquer
o Teorema do Valor Médio garante um
tal que
Isto implica
, ou seja,
é estritamente crescente. Logo
é injetora e só pode ter no máximo uma raiz real.
Passo 4
Para garantir existência de raiz, basta notar que
e
Como
é contínua, pelo Teorema do Valor Intermediário existe alguma
tal que
.
Resposta
A equação
tem exatamente uma raiz real.