1. Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que a equação x^{5}+10 x+3=0 tem exatamente uma raiz real.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a equação
x^{5} + 10x + 3 = 0
tem exatamente uma solução real, usando o Teorema do Valor Médio (e seu caso particular, o Teorema de Rolle). Aqui o conteúdo é análise de funções reais: continuidade, derivabilidade e monotonicidade via derivada.

Passo 2

Definimos
f(x) = x^{5} + 10x + 3.
Vemos que f é contínua e derivável em \mathbb{R}. Calculamos sua derivada:
f'(x) = 5x^{4} + 10.
Como x^{4}\ge0 para todo x, segue que
f'(x) = 5x^{4} + 10 \ge 10 > 0
para todo x\in\mathbb{R}. Portanto f'(x) é estritamente positiva.

Passo 3

Pela positividade de f'(x), para quaisquer x_{2}>x_{1} o Teorema do Valor Médio garante um c\in(x_{1},x_{2}) tal que
f(x_{2}) - f(x_{1}) = f'\text{(c)}\,(x_{2}-x_{1}) > 0.
Isto implica f(x_{2})>f(x_{1}), ou seja, f é estritamente crescente. Logo f é injetora e só pode ter no máximo uma raiz real.

Passo 4

Para garantir existência de raiz, basta notar que
f(-1) = (-1)^{5} + 10(-1) + 3 = -1 -10 +3 = -8 <0
e
f(0) = 0^{5} + 10\cdot0 + 3 = 3 >0.
Como f é contínua, pelo Teorema do Valor Intermediário existe alguma x_{0}\in(-1,0) tal que f(x_{0})=0.

Resposta

A equação x^{5}+10x+3=0 tem exatamente uma raiz real.

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