(Teorema do Valor Intermediário) Mostre que o polinômio
x^5+3 x-2
tem uma raiz no intervalo (0,1).

Passo 1

Temos o polinômio f(x)=x^5+3x-2 e queremos mostrar que existe uma raiz em (0,1). Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que afirma que se uma função é contínua em [a,b] e f(a) e f(b) têm sinais opostos, então existe cin(a,b) tal que f(c)=0. Polinômios são funções contínuas, então podemos aplicar o teorema em [0,1].

Passo 2

Calculamos os valores de f nos extremos do intervalo:
f(0)=0^5+3cdot0-2=-2,
f(1)=1^5+3cdot1-2=1+3-2=2

Passo 3

Observamos que f(0)=-2<0 e f(1)=2>0, ou seja, há mudança de sinal entre os extremos. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um cin(0,1) tal que f(c)=0.

Resposta

Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe cin(0,1) tal que f(c)=0, logo o polinômio tem pelo menos uma raiz em (0,1).

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