Sejam
valores reais positivos tais que
e
. Seja
a curva obtida como interseção do plano
e o cilindro
. Assumindo que a curva é percorrida no sentido anti-horário com respeito à orientação dada pelo vetor
perpendicular ao plano
, calcular a integral de linha
sendo
o campo
.
Sugestão: Usar Teorema de Stokes)
Sugestão: Usar Teorema de Stokes)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três números reais positivos $ a $, $ b $ e $ r $, onde $ r $ é menor que $ a $ e $ b $. A curva $ C $ é a interseção entre o plano $ x + y + z = 1 $ e o cilindro $ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 $. Queremos calcular a integral de linha ao longo dessa curva para o campo vetorial $ \mathbf{F}(x, y, z) = (y - x, z - x, x - y) $. A dica é usar o Teorema de Stokes, então vamos precisar entender esse teorema e como aplicá-lo aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Stokes. Esse teorema relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada $ C $ com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície $ S $ limitada por $ C $. A fórmula é:
onde $ \mathbf{n} $ é o vetor normal à superfície $ S $.
Passo 3
Vamos começar calculando o rotacional de $ \mathbf{F} $, que é $ \nabla \times \mathbf{F} $. O rotacional é definido como:
Para o nosso campo $ \mathbf{F} = (y - x, z - x, x - y) $, vamos calcular cada componente:
-
$ \frac{\partial F_z}{\partial y} = \frac{\partial (x - y)}{\partial y} = -1 $
-
$ \frac{\partial F_y}{\partial z} = \frac{\partial (z - x)}{\partial z} = 1 $
-
Primeira componente do rotacional: $ -1 - 1 = -2 $
-
$ \frac{\partial F_x}{\partial z} = \frac{\partial (y - x)}{\partial z} = 0 $
-
$ \frac{\partial F_z}{\partial x} = \frac{\partial (x - y)}{\partial x} = 1 $
-
Segunda componente do rotacional: $ 0 - 1 = -1 $
-
$ \frac{\partial F_y}{\partial x} = \frac{\partial (z - x)}{\partial x} = -1 $
-
$ \frac{\partial F_x}{\partial y} = \frac{\partial (y - x)}{\partial y} = 1 $
-
Terceira componente do rotacional: $ -1 - 1 = -2 $
Portanto,
Passo 4
Agora precisamos determinar o vetor normal $ \mathbf{n} $ à superfície $ S $. A superfície $ S $ está no plano $ x + y + z = 1 $, e sabemos que o vetor normal a esse plano é $ (1, 1, 1) $. Para que a orientação esteja de acordo com a direção anti-horária em relação a esse vetor, usamos exatamente $ (1, 1, 1) $ como vetor normal.
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar entre $ \nabla \times \mathbf{F} $ e $ \mathbf{n} $:
Passo 6
A integral de superfície agora fica:
Então, precisamos calcular a área da superfície $ S $, que é a interseção do plano $ x + y + z = 1 $ com o cilindro $ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 $.
Passo 7
A interseção desses dois conjuntos forma uma curva que é essencialmente um círculo no plano $ x + y + z = 1 $ com centro em $ (a, b, z_0) $. Para encontrar $ z_0 $, substituímos $ x = a $ e $ y = b $ na equação do plano:
Portanto, o círculo tem raio $ r $ e está no plano inclinado.
Passo 8
A área de $ S $ é a área desse círculo, que é $ \pi r^2 $. Então,
Passo 9
Substituindo de volta na integral de superfície:
Resposta
A integral de linha é igual a $ -5 \pi r^{2} $.