Seja a função
. Determine os pontos de máximo e de mínimo globais de
em
Passo 1
Oi! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede para encontrar os pontos de máximo e mínimo globais da função $ f(x, y) = \frac{x^{3}}{3} - 3x^{2} + y^{2} $ no conjunto $ D = \left{(x, y): x^{2} + 4y^{2} \leq 16\right} $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariado, como encontrar pontos críticos e analisar a fronteira do domínio. Precisaremos calcular derivadas parciais da função e verificar tanto os pontos internos quanto os pontos na fronteira de $ D $.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro do domínio $ D $. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $ e igualá-las a zero.
As derivadas parciais são:
Igualando a zero:
Portanto, os pontos críticos são $ (0, 0) $ e $ (6, 0) $. Agora, vamos verificar se esses pontos estão dentro do domínio $ D $:
Para $ (0, 0) $:
Para $ (6, 0) $:
Então, o único ponto crítico interno é $ (0, 0) $.
Passo 3
Agora, vamos analisar a fronteira do domínio $ D $, que é definida pela equação $ x^{2} + 4y^{2} = 16 $. Para encontrar os máximos e mínimos na fronteira, podemos parametrizar essa elipse.
Uma boa forma de parametrizar uma elipse é usando:
onde $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $.
Substituindo na função $ f $:
Simplificando:
Agora, para encontrar os extremos dessa função, derivamos $ f(\theta) $ em relação a $ \theta $ e igualamos a zero:
Simplificando:
Fatorando $ \sin\theta\cos\theta $:
Isso nos dá duas possibilidades:
- $ \sin\theta = 0 $ ou $ \cos\theta = 0 $
- $ -64\cos\theta + 104 = 0 $ $ \Rightarrow $ $ \cos\theta = \frac{104}{64} = \frac{13}{8} $
Como $ \cos\theta $ não pode ser maior que 1, descartamos a segunda possibilidade. Portanto, os valores críticos na fronteira ocorrem quando $ \sin\theta = 0 $ ou $ \cos\theta = 0 $.
Analisando esses casos:
- $ \theta = 0, \pi \Rightarrow \sin\theta = 0 $
- $ \theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \Rightarrow \cos\theta = 0 $
Calculando $ f(\theta) $ nesses pontos:
- Para $ \theta = 0 $:
- Para $ \theta = \pi $:
- Para $ \theta = \frac{\pi}{2} $:
- Para $ \theta = \frac{3\pi}{2} $:
Passo 4
Agora, vamos comparar os valores obtidos nos pontos críticos internos e na fronteira para determinar os máximos e mínimos globais.
- Ponto crítico interno:
- Pontos na fronteira:
Observamos que o maior valor é 4 e o menor valor é aproximadamente -69,33.
Resposta
Os pontos de máximo global de $ f $ em $ D $ são $ (0, 2) $ e $ (0, -2) $ com $ f = 4 $, e o ponto de mínimo global é $ (-4, 0) $ com $ f = -\frac{208}{3} $.