Suponha que você esteja escalando um morro cujo formato é dado pela equação
e você esteja em pé no ponto
. Suponha, também, que o eixo
positivo aponta para o leste e o eixo Y positivo aponta para o norte.
Se você andar em direção ao Nordeste, você começará a subir ou descer do morro? Determine a taxa com que isso ocorre. Justique sua resposta.
Se você andar em direção ao Nordeste, você começará a subir ou descer do morro? Determine a taxa com que isso ocorre. Justique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está rolando aqui! A gente tem um morro que pode ser descrito pela equação $ z = 625 - x^{2} - 5y^{2} $. Você está no ponto
e quer saber se, indo na direção nordeste, você vai subir ou descer esse morro. Para descobrir isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que nos ajuda a entender como a função $ z $ muda quando a gente se move em uma certa direção.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função $ z $. O gradiente é como uma seta que aponta na direção de maior subida do morro e suas componentes são as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $.
A função é:
As derivadas parciais são:
Então, o gradiente ($ \nabla z $) no ponto
é:
Passo 3
Agora, vamos definir a direção para a qual você vai andar: nordeste. Essa direção corresponde ao vetor
. Mas para usar na derivada direcional, precisamos normalizar esse vetor, ou seja, transformá-lo em um vetor unitário (com comprimento 1).
O comprimento do vetor
é:
Então, o vetor unitário na direção nordeste é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada direcional da função $ z $ na direção nordeste. Isso nos dirá a taxa de variação de $ z $ quando nos movemos nessa direção.
A derivada direcional ($ D_{\mathbf{u}}z $) é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
Resposta
Ao andar na direção nordeste, você vai descer o morro, e a taxa de descida é
unidades de altura por unidade de distância na direção nordeste.