Suponha que você esteja escalando um morro cujo formato é dado pela equação
z=625-x^2-5 y^2
e você esteja em pé no ponto (10,5,400). Suponha, também, que o eixo X positivo aponta para o leste e o eixo Y positivo aponta para o norte.
Se você andar em direção ao Nordeste, você começará a subir ou descer do morro? Determine a taxa com que isso ocorre. Justique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui! A gente tem um morro que pode ser descrito pela equação $ z = 625 - x^{2} - 5y^{2} $. Você está no ponto z = 625 - x^2 - 5y^2 e quer saber se, indo na direção nordeste, você vai subir ou descer esse morro. Para descobrir isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que nos ajuda a entender como a função $ z $ muda quando a gente se move em uma certa direção.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função $ z $. O gradiente é como uma seta que aponta na direção de maior subida do morro e suas componentes são as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $.
A função é:
z
As derivadas parciais são:
x
Então, o gradiente ($ \nabla z $) no ponto y é:
z = 625 - x^2 - 5y^2

Passo 3

Agora, vamos definir a direção para a qual você vai andar: nordeste. Essa direção corresponde ao vetor (1, 1). Mas para usar na derivada direcional, precisamos normalizar esse vetor, ou seja, transformá-lo em um vetor unitário (com comprimento 1).
O comprimento do vetor (1, 1) é:
| u | = raiz1^2 + 1^2 = raiz2
Então, o vetor unitário na direção nordeste é:
u = ( 1raiz2, 1raiz2 )

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada direcional da função $ z $ na direção nordeste. Isso nos dirá a taxa de variação de $ z $ quando nos movemos nessa direção.
A derivada direcional ($ D_{\mathbf{u}}z $) é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
z

Resposta

Ao andar na direção nordeste, você vai descer o morro, e a taxa de descida é 70raiz2 approx 49,50 unidades de altura por unidade de distância na direção nordeste.

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